• Home Page
• Organaria
• Accordatura
• Musica
• Curriculum
• Novità

Contenuto

In questo articolo espongo alcune nozioni fondamentali, che sono così raccolte:

• Unità di misura
• Sistema naturale e comma sintonico
• Sistema pitagorico, commi e schisma
• Temperamento
• Tabelle e quadranti

I

L'altezza dei suoni si esprime:
- mediante la lunghezza d'onda, misurata in metri (in organaria un'altra unità di misura è il piede pari a 324 mm). Do1 = 8' oppure 2500 mm circa.
- mediante la frequenza, misurata in Herz o cicli/secondo; per esempio il La3 ha una frequenza di 440 Hz.

La frequenza è inversamente proporzionale alla lunghezza d'onda: ciò significa che raddoppiando la lunghezza la frequenza dimezza (una canna d'organo di 8' suona all'ottava inferiore rispetto a una di 4').

L'intervallo fra due suoni viene espresso mediante il rapporto delle loro frequenze.

Do1-Do2 sono in rapporto di 1 a 2 (ossia 1/2 se intendiamo indicare la lunghezza d'onda di Do2 rispetto a Do1, oppure 2/1 se invece rapportiamo la frequenza del Do2 a quella del Do1).

Do1-Sol1 sono in rapporto di lunghezza pari a 2/3 e di frequenza pari a 3/2 (infatti la canna d'organo che produce il Sol1 misura 8' × 2/3 = 5.1/3').

Anche se nel linguaggio comune l'intervallo è inteso come differenza tra le altezze di due suoni, in termini aritmetici esso si esprime mediante una divisione (ad esempio la quinta giusta è ottenuta moltiplicando la frequenza del suono più grave per 3/2 e non con una sottrazione).

Di conseguenza, la somma di due intervalli si esprime in termini aritmetici mediante la moltiplicazione dei rapporti intervallari (Quarta + Quinta = Ottava: 3/2 × 4/3 = 12/6 = 2). Inoltre la divisione di un intervallo si ottiene con un'estrazione di radice (per esempio la dodicesima parte dell'ottava, il semitono del moderno temperamento equabile, equivale a 1.0594631).

Anziché operare sulle frequenze, si può adottare un'unità di misura dell'ampiezza di un intervallo, che consente di semplificare i calcoli riducendoli di grado: il cent è per definizione un intervallo pari alla 1200ª parte dell'ottava, e quindi equivale alla 100ª parte del semitono del temperamento equabile usuale. Ne consegue che il calcolo quinta + quarta = ottava anzichè esprimersi con la formula 3/2 × 4/3 = 2 si riduce a 700 ¢ + 500 ¢ = 1200 ¢, e che la divisione in dodici parti dell'ottava si rappresenta con 1200/12 = 100 anziché con l'estrazione di radice.

II

I suoni armonici che accompagnano il suono fondamentale emesso da una canna possiedono frequenza multipla secondo i numeri interi: il fondamentale ha frequenza 1, il secondo armonico ha frequenza doppia, il terzo tripla e così via. L'intervallo naturale suona quindi puro, senza battimenti, ed è tanto più "piacevole" all'ascolto quanto più è "semplice" il rapporto fra le frequenze dei suoni.

• Unisono 1/1
• Terza minore 6/5
• Terza maggiore 5/4
• Quinta giusta 3/2
• Ottava 2/1
• Quarta (rivolto della Quinta giusta) 2×2/3=4/3
• Sesta minore (rivolto della Terza maggiore) 2×4/5=8/5
• Sesta maggiore (rivolto della Terza minore) 2×5/6=10/6=5/3
• Tono maggiore (Seconda maggiore grande): quinta + quinta riportata all'ottava sotto 3/2×3/2×1/2=9/8
• Tono minore (Seconda maggiore piccola): terza maggiore - seconda maggiore 5/4×8/9=10/9
• Semitono diatonico (Seconda minore): quarta giusta - terza maggiore 4/3×4/5=16/15

Sulla base di tali intervalli la scala diatonica "naturale" di Do è così composta:

            Id.in              Id.in
  Frequenza cents  Intervallo  cents
C 1         0
                    9/8        204
D 1.125     204
                   10/9        182
E 1.25      386
                   16/15       112
F 1.333     498
                    9/8        204
G 1.5       702
                   10/9        182
A 1.666     884
                    9/8        204
B 1.875     1088
                   16/15       112
C 2         1200

Analizzando la scala diatonica "naturale" di Do notiamo che:

• la terza maggiore (5/4 = 386,3137 ¢) si trova fra le note Do-Mi, Fa-La, Sol-Si;
• la terza minore (6/5 = 315,641 ¢) tra Mi-Sol, La-Do, Si-Re;
• la quinta giusta (3/2 = 701,955 ¢) fra Do-Sol, Mi-Si, Fa-Do, Sol-Re, La-Mi;
• la quarta giusta (4/3 = 498,045 ¢) fra Do-Fa, Re-Sol, Mi-La, Sol-Do, Si-Mi.
• la quinta Re-La è molto stretta, avendo il rapporto di 40/27 = 680,4487 ¢, e non è tollerata dall'orecchio.

Problema cruciale è l'impossibilità di far coesistere due degli intevalli fondamentali: nella scala diatonica naturale di Do se si accorda pura la terza minore La-Do, come deve essere per il rapporto 6/5, la quinta Re-La non sarà mai pura, bensì risulterà stretta di un intervallo detto comma sintonico. L'ampiezza del comma è pari a 40/27×3/2 = 80/81 (0,9876543209877) ossia 701.955 - 680.4487 = 21.5063 ¢.

III

Alternativo al sistema "naturale", avente una quinta stretta d'un comma sintonico ogni quattro quinte pure, è quello pitagorico. In esso tutte le quinte sono pure, ma di conseguenza tutte le terze maggiori sono larghe d'un comma sintonico (terza pitagorica = 9/8+9/8 = 81/64) e le terze minori sono strette dello stesso intervallo (96/81). Questo sistema fu in vigore nell'Antichità e nel Medio Evo, sino a tutto il secolo XV, è eccellente per la musica monodica (canto "gregoriano") ma inadatto alla polifonia.

Il giro delle quinte pure non si chiude dopo dodici intervalli ma procede all'infinito sia salendo che scendendo. Iniziando dal Do, si ascende al Si#, che non coincide con la nota di partenza, ma ne risulta più acuto. Analogamente, iniziando il giro dal Si, scende al Dob, che è più basso della nota iniziale. L'intervallo fra i due estremi del giro di dodici quinte è detto comma pitagorico. Esso vale 531441/524288 (1,013643264771) ossia 23.460 ¢, ed è più largo del comma sintonico di 1.95372 ¢ (questo nuovo intervallo è detto schisma; approssimativamente 12 schismi fanno un comma pitagorico, 11 un comma sintonico).

Se s'accordano tre terze maggiori pure ascendenti, non si ritorna alla nota iniziale. Do-Mi, Mi-Sol#, Sol#-Si# non chiudono il giro di terze maggiori: esso procede all'infinito sia verso l'acuto che verso il grave. Il comma enarmonico è l'intervallo fra gli estremi di un giro di tre terze maggiori, ed è il più largo fra i tre commi: 5/4×5/4×5/4=125/64; 2÷125/64=128/125 (1,024) è la differenza fra Do e Si#.

Altre informazioni.

IV

Oltre all'accordatura per quinte pure (sistema pitagorico) e al sistema "naturale" esistono altri sistemi che ripartiscono il comma sintonico o quello pitagorico fra le quinte.

I temperamenti ciclici regolari suddividono l'ottava in n parti uguali, e consentono la circolazione fra le tonalità. Questi sistemi sono adatti a strumenti con tasti spezzati o con più ordini di tasti.

• Il sistema equabile moderno permette la circolazione fra dodici quinte poichè l'ottava è divisa in 12 parti uguali, e quindi il giro delle quinte si chiude temperando il comma pitagorico di 1/12 per ciascun passo;
• il temperamento equabile con ciclo 19 chiude il giro delle quinte dopo 19 passi (Do = Si##), e presenta terze minori quasi pure;
• l'equabile con ciclo 31 ha terze maggiori quasi pure e si chiude dopo 31 quinte calanti di quasi 1/4 di comma sintonico (Do = A## ##).

Nel temperamento mesotonico le quinte sono temperate tutte della stessa frazione di comma sintonico. Il sistema non permette la circolazione:

• il tono medio regolare riduce le quinte di 1/4 di comma sintonico, e presenta terze maggiori pure; è perciò analogo all'equabile con ciclo 31, limitato però a sole dodici quinte;
• il mesotonico a 1/3 di comma ha terze minori pure;
• il mesotonico a 2/7 di comma dà terze maggiori e minori ugualmente temperate.

Nei temperamenti inequabili tutte le quinte o solo alcune sono ridotte o allargate in modo non regolare, sì da favorire intenzionalmente alcune tonalità a scapito di altre. Alcuni sistemi permettono l'enarmonia.

Confronto fra scala pitagorica, naturale e temperata equabile.

V

Per illustrare i vari sistemi si useranno tabelle indicanti per ciascuna nota della scala cromatica il grado di temperamento delle quinte e delle terze maggiori, che viene sempre espresso in centesimi di comma sintonico (se viene temperato il comma pitagorico sarà specificato espressamente). Valori positivi indicano che la nota è crescente rispetto al valore "naturale" dell'intervallo puro, mentre valori negativi segnalano accordatura calante. Il valore 0 significa che l'intervallo è puro. Il valore 1 rappresenta l'intero comma sintonico. La tabella dà la corrispondenza fra il valore in centesimi di comma sintonico e la frazione corrispondente.

Frazione          Valori decimali
0 (quinta pura) = 0
1/3             = 0,333
2/7             = 0,285
5/18            = 0,277
1/4             = 0,250
2/9             = 0,222
1/5             = 0,200
1/5 di comma    = 0,220 di comma
  pitagorico          pitagorico
3/14            = 0,214
3/17            = 0,176
1/6             = 0,166
1/7             = 0,142
1/8             = 0,125
1/9             = 0,111
1/10            = 0,100
1/12 di comma   = 0,091 di comma
   pitagorico         pitagorico

Altro ausilio per illustrare la struttura di un temperamento è il quadrante del giro delle quinte con i valori indicanti il grado di purezza degli intervalli in frazioni di comma sintonico ed eventuali linee di collegamento per altri intervalli significativi.