La scala pitagorica

comma pitagorico, schisma

La scala pitagorica è concepita generando le note a partire dalla frequenza di base in successione di quinte pure (rapporto 3:2).
Ovviamente è possibile salire di quinta verso l'ordine dei diesis oppure scendere dello stesso intervallo verso l'ordine dei bemolli.

Do1 Sol1   Re2   La2   Mi3   Si3   Fa#4  Do#5 Sol#5  Re#6  La#6  Mi#7  Si#7
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
|          |         |         |         |         |         |          |
Do1       Do2       Do3       Do4       Do5       Do6       Do7      Do8|
|----------|---------|---------|---------|---------|---------|--------| |
                                                                      | |
                                                                     Comma
                                                                  pitagorico

È del tutto evidente che la serie delle potenze di 2 e quella di 1.5 non si intersecano, infatti il giro delle quinte pure non può chiudersi né dopo dodici intervalli né mai: procede all'infinito sia salendo che scendendo. Iniziando dal Do e salendo per quinte, si raggiunge il Si#, che non coincide con la nota di partenza, ma ne risulta più acuto. Analogamente, iniziando dal Do e scendendo per quinte, si trova il Dob, che è più basso della nota iniziale. L'intervallo fra i due estremi del giro di dodici quinte è detto comma pitagorico o comma ditonico. Esso è pari alla "differenza" fra l'intervallo di 12 quinte e l'intervallo di 7 ottave, cioè

(3/2)12 ÷ 27 = 531441/524288 (1,0136)
ossia (701.95 × 12) - (1200 × 7) = 8423.4 - 8400 = 23.4 ¢

ed è più largo del comma sintonico di 1.95372 ¢.

Questo nuovo intervallo è detto schisma; approssimativamente 12 schismi fanno un comma pitagorico, 11 un comma sintonico.

Se ad esempio costruiamo la scala diatonica pitagorica dal Do otteniamo questa successione:

   Herz       Cents   Rapporto       Intervallo
C  260.7407    0.00   1/1
                                   }   9/8   203.91 tono
D  293.3333  203.91   9/8   = 1.125
                                   }   9/8   203.91 tono
E  330.0000  407.82  81/64  = 1.266
                                   } 256/243  90.23 semitono
F  347.6543  498.05   4/3   = 1.333
                                   }   9/8   203.91 tono
G  391.1111  701.95   3/2   = 1.5
                                   }   9/8   203.91 tono
A  440.0000  905.86  27/16  = 1.687
                                   }   9/8   203.91 tono
B  495.0000 1109.77 243/128 = 1.898
                                   } 256/243  90.23 semitono
c  521.4815 1200.00   2/1

Volendo trovare il valore di diesis e bemolli, si continua nella successione di quinte nelle due direzioni:

Si-Fa# => 243/128 × 3/2 = 729/256

Il semitono tra Fa e Fa# è evidentemente diverso dal semitono posto fra Mi-Fa o Si-Do:

729/256 × 3/8 = 2187/2048 = 1,9678

Si presentano infatti due diversi tipi di semitono:

semitono cromatico
vale 113.68 ¢ ed è altrimenti noto come apotome
semitono diatonico
è pari a 90.23 ¢ ottenuto con il rapporto 256/243 = 1,0535; detto anche limma.

La distanza fra questi due semitoni è 113.7 - 90.2 = 23.5 ¢ il comma pitagorico.

Da questo fatto consegue che ad esempio Mib e Re#, che si pongono agli estremi del medesimo ciclo di quinte, non coincidono e dunque la scala pitagorica non permette la circolazione completa delle tonalità, non ammette cioè l'enarmonia.
Si noti anche un altro dato importante: i diesis sono più acuti dei bemolli di un comma pitagorico: Do#=114 ¢ e Reb=90 ¢

Inoltre, poiché le quinte sono pure, le terze maggiori sono larghe d'un comma sintonico:

407.8 - 386.3 = 21.5 ¢
terza pitagorica = 9/8 × 9/8 = 81/64

Le terze minori sono strette dello stesso intervallo:

315.6 - 294.1 = 21.5 ¢ (rapporto 96/81).

Questo sistema fu in vigore nell'Antichità e nel Medio Evo, sino a tutto il secolo XV, è eccellente per la monodia e per la prima fase della polifonia, quando la terza maggiore non era considerata come consonanza (del resto la terza pitagorica ha un infimo indice di consonanza 0.023).

Dovendo adattare il sistema pitagorico ai limiti della tastiera di 12 note è necessario snaturarlo in una quinta, che non sarà più pura, ma stretta di un intero comma pitagorico.

Uno degli esempi storicamente documentati di accordatura pitagorica applicata a uno strumento a tastiera è quello proposto da Henri Arnaut De Zwolle verso la metà del XV secolo. Egli accorda la serie di quinte pure scendendo verso l'ordine dei bemolli e partendo dalla nota Si. La quinta stretta è posta tra Si e Fa#, che per la verità è calcolato come Solb (si potrebbe però sacrificare una qualunque altra quinta, in base alle esigenze musicali).

Così facendo, egli ottiene terze maggiori decisamente troppo larghe e dissonanti, tuttavia le quattro contenute entro la quinta stretta (cioè re-fa#, la-do#, mi-sol# e si-re#) sono invece quasi pure, perché risultano dal rapporto 8192/6561, pari a 384.36 ¢. Nonostante la polifonia del Quattrocento facesse uso moderato della terza maggiore come intervallo armonico, si deve pur considerare l'importanza che hanno il modo dorico, il frigio e i loro plagali in quel repertorio. Esemplari sono i brani contenuti nel codice di Robertsbridge, in quello di Faenza, nel Buxheimer Orgelbuch e quelli di Adam Ileborg.

Questo potrebbe essere il quadrante:

                  Do
          Fa   0  |  0  Sol
            0     |     0
  (La#)Sib        |         Re
          0       |       0
(Re#)Mib -------- | -------- La 
          0       |       0
  Sol#(Lab)       |         Mi
            0     |      0 
      Do#(Reb) 0  |  -comma pitagorico  Si 
               Fa#(Solb)

Questa è la tabella riassuntiva del sistema di accordatura pitagorica cromatica secondo Henri Arnaut De Zwolle con i battimenti delle terze maggiori e delle quinte

Nota Frequenza Rapporto Cents temperamento
3ª Mag.		 battimenti
3ª Mag.		 temperamento
5ª		 battimenti
5ª
DO 260.7407 1/1 0.000 21.5063 16.3516 0.00 0.00
DO# 274.6898 256/243 90.225 21.5063 17.2264 0.00 0.00
RE 293.3333 9/8 203.910 -1.9537 -1.6598 0.00 0.00
RE# 309.0261 32/27 294.135 21.5063 19.3797 0.00 0.00
MI 330.0000 81/64 407.820 -1.9537 -1.8673 0.00 0.00
FA 347.6543 4/3 498.045 21.5063 21.8021 0.00 0.00
FA# 366.2531 1024/729 588.270 21.5063 22.9685 0.00 0.00
SOL 391.1111 3/2 701.955 21.5063 24.5274 0.00 0.00
SOL# 412.0348 128/81 792.180 21.5063 25.8396 0.00 0.00
LA 440.0000 27/16 905.865 -1.9537 -2.4897 0.00 0.00
LA# 463.5391 16/9 996.090 21.5063 29.0695 0.00 0.00
SI 495.0000 243/128 1109.775 -1.9537 -2.8010 -23.46 -20.0554
DO 521.4815 2/1 1200.000 21.5063 32.7032 0.00 0.00

Si osserva che nel sistema proposto il tono intero di 203.91 ¢ pari al rapporto 9/8 è presente fra F#-G#-A#[Bb]-C-D-E e fra C#-D#[Mib]-F-G-A-B, ed è composto sommando i semitoni nell'ordine limma + apotome oppure apotome + limma; inoltre esistono due toni interi di 180.45 ¢ ottenuti dalla somma di due limma e sono tra le note E-F# e B-C#

Versione stampabile | Torna su