La frequenza del suono prodotto da una canna è misurata in Herz. La lunghezza della canna si può ottenere empiricamente con una formula che concede un piccolo margine di abbondanza nella costruzione. Per le canne aperte uso la formula: Lunghezza = (174000 / Frequenza) – (2 × diametro).

Il La3 emesso da una canna di Principale 8′ accordata nel sistema equabile ha la frequenza di 440 Hz alla temperatura di 20° C. Secondo la progressione NormalMensur, il diametro interno della canna è 37,2 mm.
Dunque la lunghezza del corpo in mm è 174000÷440-37,2×2 cioè 321 mm circa.

Se abbassiamo il corista a 415 Hz, la canna dovrà essere allungata: 174000÷415-37.2×2 = 345 mm circa. In altre parole, lo scarto di un semitono fra canne nella regione medio-acuta intorno a 1′ è di circa 1,5 – 2,5 cm. La stessa variazione tra frequenze all’ottava inferiore, si ottiene con una differenza di lunghezza doppia, cioè circa 3 – 5 cm, che diventano 6 – 10 cm due ottave sotto.

Cambiando corista, cioè la frequenza di riferimento del sistema d’accordatura, l’escursione delle lunghezze nelle ottave considerate (8′-4′-2′-1′) è dell’ordine di alcuni centimetri. Se invece mutiamo il sistema di accordatura, come spesso accade negli organi usati per il basso continuo, le variazioni di lunghezza si riducono di un ordine, ovvero sono differenze di alcuni millimetri nelle ottave considerate. Ciò che più interessa è la variazione di ogni singola canna; infatti alcune note hanno escursioni maggiori di altre in rapporto al sistema equabile che userò come riferimento.
È allora necessario ricorrere ad un foglio elettronico con cui calcolare le frequenze delle note nelle consuete 4 ottave di estensione di un organo positivo.

I moderni apparecchi elettronici consentono di scegliere fra vari sistemi di accordatura storici. Solitamente attribuiscono a ciascuna nota un valore in cents, e questo genera convinzioni sbagliate negli utenti meno esperti. Non si tratta di frequenze, ma di intervalli, cioè di rapporti tra frequenze!
Il calcolo degli intervalli è lo strumento indispensabile per creare le relazioni tra le note e quindi costruire un sistema di temperamento.
Anticamente per descrivere gli intervalli nei sistemi pitagorico e tolemaico dotati di 7 note si usavano le frazioni (che si traducono nei numeri razionali), ma queste non sono in grado di descrivere accuratamente i sistemi di accordatura moderni dal Rinascimento in poi, che hanno 12 o più note e fanno ricorso anche ai numeri irrazionali (ad esempio le radici di 2).

Nel secolo XIX si diffuse il cent per semplificare il calcolo matematico.
Esso permette di indicare i 12 semitoni in cui è suddivisa la scala cromatica attribuendo a ciascun gradino l’ampiezza di 100¢. Dunque per convenzione le 12 note sono disposte in senso ascendente: al primo posto l’unisono (intervallo di ampiezza 0¢), poi il semitono (ampiezza 100¢), quindi il tono (200¢), la terza minore (300¢), eccetera. Generalmente si pone il Do all’origine della scala cromatica. Ma siccome il moderno corista è stabilito con la nota La, è necessario trasporre la scala con le opportune sottrazioni. L’unisono di 0¢ si ottiene per il nuovo La sottraendo 900¢ dal vecchio valore. Al semitono seguente si dà il valore 1000-900=100¢, mentre cinque semitoni indietro valgono -500¢ al posto di 400¢.

È molto diffuso un tipo di tabella che, anziché elencare le ampiezze dei 12 semitoni di un dato sistema, mostra gli scostamenti in cents tra ciascuna nota e la corrispondente in quello equabile. Quando la nota è calante rispetto all’equabile, il valore è negativo. L’intervallo tra i due La, che è nota corista, è l’unisono ed è quindi posto a 0. Seguendo questa convenzione, la nota Si del Vallotti, per esempio, si scosta da quella dell’equabile per un microintervallo di -3,9¢ (è leggermente calante).

La precisione con cui maneggiare il cent è argomento di discussione. Infatti nell’uso pratico si tende a trascurare o dimenticare la parte decimale dei numeri che rappresentano gli intervalli più usati: la quinta pura è approssimata per eccesso a 702¢, la terza maggiore per difetto a 386¢. Molto più elegante e maneggevole è in questo caso l’uso delle frazioni: 3/2 e 5/4.
Alcuni apparecchi elettronici indicano i valori degli scostamenti in cents con tolleranza a 1/10 dell’unità, mentre altri arrotondano a 5/10 dell’unità.
Gli accordatori elettronici TLA CTS, tra i più diffusi, si attengono a questa precisione. Si rende allora necessaria nei fogli di calcolo un’idonea funzione di arrotondamento.
Essa è composta da tre passaggi: raddoppio il valore dato, arrotondo all’intero, dimezzo. Nella cella di input compare il dato grezzo e in quella di output inserisco la formula =ARROTONDA(IndirizzoCella*2;)/2
Questo procedimento si può modificare per ottenere approssimazioni diverse, per esempio a 1/3 o 1/4 di millimetro (ideale nei lavori di precisione di falegnameria e meccanica).

Una volta ottenuti gli scostamenti dei 12 semitoni è possibile calcolare la frequenza delle note nell’ambito di un’ottava.
Si dispone di due serie di dati: le frequenze delle note nel sistema equabile e gli scostamenti da esse in un altro sistema di temperamento. Le prime sono misurate in Hertz, i secondi in cents. La relazione che lega le due grandezze è nella formula: ¢ = 1200 × log2(F2/F1), dove ¢ indica lo scostamento, F1 la frequenza nell’equabile e F2 la frequenza cercata.
Da ciò deriva F2 = 2^(log2F1 + ¢/1200). Nel foglio di calcolo si devono quindi disporre le frequenze delle 12 note del sistema equabile in una colonna, gli scostamenti nella colonna a fianco e nelle celle della colonna di output si scrive: =2^(LOG(RifCellaF1;2)+RifCellaCents/1200).

Ottenuti i dati necessari, si possono calcolare le lunghezze dei corpi e quindi le differenze tra i diversi sistemi di accordatura, inoltre è utile creare un grafico, come si può osservare nel file .xls scaricabile.

Concludo con alcune considerazioni generali:

  • Nel sistema pitagorico allargato all’ordine cromatico sono calanti rispetto all’equabile tutte le note ad eccezione di Mi e Si, che sono invece crescenti.
  • Nei sistemi mesotonici regolari, allontanandosi dal La verso l’ordine dei bemolli le note sono via via più crescenti rispetto all’equabile, mentre allontanandosi verso i diesis esse sono gradualmente calanti.
  • Nei sistemi irregolari queste prevalenze non si dànno, ma c’è la tendenza delle note Do, Fa e Sib a crescere molto.
  • Considerato il fatto che gli organi da basso continuo, oltre a modificare sistema di accordatura, traspongono, è necessario assicurarsi che l’intonazione delle canne sia stabile ed affidabile quanto più possibile almeno entro una ventina di cents
  • Le variazioni di temperatura sono un elemento molto importante nell’accordatura dell’organo. Condizioni estreme di freddo e caldo riducono enormemente le tolleranze stabilite al momento della costruzione in laboratorio.
Lunghezza delle canne in rapporto al sistema di accordatura