{"id":1301,"date":"2011-12-01T08:37:01","date_gmt":"2011-12-01T07:37:01","guid":{"rendered":"http:\/\/www.nicolaferroni.com\/?p=1301"},"modified":"2016-12-28T21:22:12","modified_gmt":"2016-12-28T20:22:12","slug":"delle-canne-labiali-calcolo-delle-progressioni","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/2011\/12\/01\/delle-canne-labiali-calcolo-delle-progressioni\/","title":{"rendered":"Delle canne labiali: calcolo delle progressioni"},"content":{"rendered":"
Questa serie di articoli si occupa dei metodi per il calcolo delle progressioni, cioè delle relazioni fra i parametri dimensionali delle canne che costituiscono un registro. È in buona parte merito di Christhard Mahrenholz la trattazione storica di questo tema, affrontata nel trattato Die Berechnung der Orgelpfeifenmensuren vom Mittelalter bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts<\/i>, IIa<\/sup> edizione, Bärenreiter-Verlag, Kassel, 1968. La maggior parte delle notizie qui pubblicate deriva dunque da questa fonte. Inoltre consiglio la lettura dell’articolo di Axel Leuthold, I metodi degli antichi maestri per calcolare le misure delle canne d’organo – Problemi di ricostruzione<\/i> pubblicato nella rivista L’organo<\/i>, annata XXX-1996, Pàtron editore, Bologna, 1997. Segnalo anche gli interessanti contributi<\/a> in lingua francese firmati da Sébastien Cosson che si possono consultare nella rete.
Purtroppo sviste e refusi possono capitare a tutti: ne ho trovati nelle fonti citate, peraltro facilmente individuabili. Chiedo scusa ai lettori per quelli che involontariamente mi sono sfuggiti, e prego di segnalarmeli.<\/div>\n
L’argomento appare complesso perché è costituito da molte diverse soluzioni che si sono accumulate nel corso dei secoli, alcune anche in netto contrasto fra loro, e spesso ha innescato dure polemiche fra conservatori e innovatori.
Buona parte delle incomprensioni è dovuta all’oscurità con cui volutamente si operava, mantenendo segrete le formule o velandole di mistero. Un’altra buona parte degli errori di valutazione è giustificata dalla laboriosità dei computi matematici. Sono infatti possibili due strade che portano alle medesime soluzioni: quella geometrica e quella aritmetica, applicate entrambe ai rapporti intervallari fra le varie note della scala.<\/div>\n
Questi rapporti intervallari furono calcolati per secoli rispettando le proporzioni pitagoriche, con adattamenti giustificabili in funzione dei vari temperamenti seguiti.
La via geometrica si propone di costruire le suddette proporzioni mediante l’uso di riga e compasso, quella aritmetica invece le calcola operando con le frazioni. La prima appare pratica, precisa e affidabile nell’esecuzione, visivamente permette di abbracciare con un solo sguardo l’evolversi della progressione e di compararla con altre. È perciò comprensibile che questa fosse la via canonica seguita dagli organari antichi. L’aritmetica permette di ottenere gli stessi risultati, rappresentandoli come quantità numeriche e non come segmenti, e ciò può essere utile per fissare un limite di precisione a piacere, decidendo le tolleranze e gli arrotondamenti, che invece nella rappresentazione grafica sono casuali. Infatti lo spessore del tratto, la scala del disegno, imperfezioni degli strumenti, perfino gli allungamenti subiti dal foglio di carta o pergamena con il variare dell’umidità possono generare scarsa accuratezza.<\/div>\n
Lo sviluppo del sistema equabile con la suddivisione dell’ottava in dodici semitoni uguali pose nuovi problemi di calcolo. Infatti per dividere un intervallo in n parti uguali si deve estrarre la radice ennesima della frazione che lo rappresenta, nel nostro caso l’ottava è 2\/1 e il semitono è 12<\/sup>√2. Operando solo con le frazioni non si ottiene una suddivisione precisa del tono in due semitoni uguali, si può solamente approssimare il valore, per esempio a 18\/17.
Le discrepanze fra la suddivisione ottenuta con le frazioni e quella ottenuta con le radici non sono enormi, però rispecchiano due diversi modi di operare. Marin Mersenne nel ponderoso trattato Harmonie universelle<\/a>, Parigi 1636, nel libro V della seconda parte dedicato al liuto afferma quanto segue:<\/p>\n

[…] car si l’on tend une chorde qui soit moyenne proportionelle entre les deux chordes qui font le ton, l’Octave, ou quelque autre intervalle, le dit ton, ou l’autre intervalle proposé sera divisé en 2 parties esgales: de sorte que le premier demy-ton du ton maieur sera iustement esgal au second demy-ton […]<\/p><\/blockquote>\n

Illustra come dividere un intervallo in parti uguali per mezzo dei medi proporzionali, facendo ricorso al secondo teorema di Euclide, ma anche per via aritmetica, usando operazioni complesse come l’elevazione a potenza e l’estrazione di radice. Nepero aveva da pochi anni, 1614, proposto l’uso dei logaritmi e Briggs cominciò a diffondere le prime tavole logaritmiche subito dopo, 1617-1624. Mersenne se ne avvantaggiò immediatamente. Oggi il ricorso alla calcolatrice, o meglio ancora al foglio elettronico, ci risparmia il computo manuale.<\/p><\/div>\n

A costo d’essere pedante, sottolineo che sarà necessario fare bene attenzione all’uso del termine rapporto<\/i>, che nei testi teorici viene usato in tre diverse accezioni.<\/div>\n
\n
Rapporto di nota<\/dt>\n
proporzione usata per calcolare gli intervalli fra i gradi della scala, necessaria per risalire alle lunghezze d’onda e quindi alla lunghezza di lastra delle canne.<\/dd>\n
Rapporto di lastra<\/dt>\n
relazione fra i lati della lastra di metallo usata per formare la canna; è solitamente espresso con una proporzione, per esempio 1:1,682 oppure 1:4, per indicare che fatta pari all’unità la larghezza della lastra, la lunghezza equivale al divisore; essendo la lastra rettangolare, il rapporto è sempre minore di 1 e nel caso limite di lastra quadrata vale 1. Tale rapporto può essere costante o variabile entro il registro.<\/dd>\n
Rapporto di misura<\/dt>\n
relazione che sussiste fra le larghezze di lastra di due canne all’intervallo di un’ottava: può rispettare la proporzione pitagorica di 1\/2 (la stessa che lega anche le lunghezze), oppure può seguire altri criteri, con valori razionali o irrazionali. Talvolta è chiamato anche rapporto d’ottava, ma non va confuso con l’omonimo rapporto di nota riguardante l’intervallo di ottava.<\/dd>\n<\/dl>\n

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Metodo geometrico per il calcolo della lunghezza di lastra secondo le proporzioni pitagoriche<\/h3>\n
Come s’è detto, il calcolo della lunghezza della lastra di una canna era anticamente eseguito sostanzialmente rispettando i rapporti classici della scala pitagorica, con qualche scostamento già a partire dal secolo XVII, per aderire meglio ai criteri del temperamento: è noto infatti che il circolo delle quinte pure non chiude l’ottava e che la suddivisione in semitoni ottenuta usando ripetutamente i due rapporti complementari di quinta (2\/3) e quarta (3\/4) giuste è leggermente sfasata rispetto a quella prevista dai vari sistemi temperati. Gli scostamenti sono irrilevanti al fine della costruzione delle canne, le cui lastre sarebbero comunque tagliate un po’ più lunghe del dovuto per consentire l’accordatura in tondo. Inoltre, pur essendo consapevoli della necessità di correggere questi valori teorici sottraendo una precisa quantità, definita correzione di bocca<\/i>, tuttavia sia i teorici che gli organari la trascuravano in fase di progettazione.<\/div>\n
Poiché si calcolano le lunghezze d’onda, non le frequenze, si debbono invertire le frazioni per cui moltiplicare l’unità di base. Quindi se la frequenza dell’ottava è pari al doppio di quella dell’unisono, allora la sua lunghezza d’onda è pari a un mezzo; se la quinta è data dal rapporto 3\/2 allora la lunghezza della canna che emette la quinta è pari a 2\/3 della lunghezza della canna di riferimento.<\/div>\n
\"calcolo<\/a>Alcune proporzioni sono sempre state ritenute inviolabili: ottava e quinta giusta. I rimanenti intervalli invece erano ottenuti con diversi metodi e lievi scostamenti dalla scala pitagorica, come già si è detto.<\/div>\n
Perciò, stabilita convenzionalmente la lunghezza della lastra della canna maggiore in funzione del corista, si disegna un segmento pari a questa lunghezza, col compasso la si divide a metà, ottenendo la lunghezza dell’ottava. La quinta è ottenuta dividendo in tre parti il segmento dato e prendendone due. Divisione e moltiplicazione si ottengono con riga e compasso e sfruttando il teorema di Talete.<\/div>\n
\"calcolo<\/a>Molti teorici seguono le proporzioni pitagoriche anche per la quarta giusta pari a 3\/4: l’ottava è presa tre volte e il segmento risultante è diviso in quattro parti oppure, trovata la lunghezza della XV, si divide in tre il segmento che ha per estremi il C8′ e il c2′.
Concordano in molti anche sul rapporto 8\/9 per la seconda maggiore, mentre risultano comprensibilmente meno omogenee le frazioni usate per ottenere terza maggiore e minore e loro rivolti, per le citate implicazioni con i sistemi d’accordatura (ratio<\/i> pitagorica 64\/81, ratio<\/i> naturale 5\/4).<\/div>\n
Un metodo assai pratico, che considera irrilevanti i piccoli scostamenti dalle proporzioni pitagoriche, è quello descritto da J. van Heurn<\/b> in De Orgelmaaker<\/i>, un articolo comparso nella Vollendige beschrijving van alle Konsten, ambachten, handwerken…<\/i> Volume 19-21, 1804\/1805. Questo autore, dopo aver trovato la quinta con la solita proporzione 2\/3, propone di suddividere in sette parti il segmento a sinistra e in cinque parti quello a destra, trovando così i semitoni intermedi.<\/div>\n
Dom Bédos de Celles<\/b>, L’art du facteur d’orgues<\/i>, Parigi 1766-78, descrive nel primo tomo dell’opera come si divide l’ottava secondo il circolo delle quinte: adotta pragmaticamente il sistema pitagorico, dimostrando che per tagliare le lastre non riteneva necessario rispettare fedelmente il sistema d’accordatura: in effetti gli scostamenti non sono tali da pregiudicare il risultato. Egli indica come operare partendo dalla prima ottava, come estendere la suddivisione all’intero ambito del registro, e dà le lunghezze di un 4′ misurate in piedi, pollici, linee e punti (un punto vale 1\/12 di linea cioè 0,188 mm). Nella seguente tabella si riportano questi valori.<\/div>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
·<\/th>\nintervallo<\/th>\nnota<\/th>\nratio<\/th>\npiedi<\/th>\npollici<\/th>\nlinee<\/th>\npunti<\/th>\nmm<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n
Do<\/td>\nè l’unisono dato<\/td>\nDo<\/td>\n100<\/td>\n4<\/td>\n0<\/td>\n0<\/td>\n0<\/td>\n1300<\/td>\n<\/tr>\n
3\/4 di Do<\/td>\nquarta giusta<\/td>\nFa<\/td>\n75<\/td>\n3<\/td>\n0<\/td>\n0<\/td>\n0<\/td>\n975<\/td>\n<\/tr>\n
2\/3 di Do<\/td>\nquinta giusta<\/td>\nSol<\/td>\n66,667<\/td>\n2<\/td>\n8<\/td>\n0<\/td>\n0<\/td>\n866,8<\/td>\n<\/tr>\n
4\/3 di Sol<\/td>\nquarta discendente, seconda maggiore sul Do<\/td>\nRe<\/td>\n88,889<\/td>\n3<\/td>\n6<\/td>\n8<\/td>\n0<\/td>\n1155,68<\/td>\n<\/tr>\n
2\/3 di Re<\/td>\nquinta sopra, sesta maggiore sul Do<\/td>\nLa<\/td>\n59,259<\/td>\n2<\/td>\n4<\/td>\n5<\/td>\n4<\/td>\n770,4533<\/td>\n<\/tr>\n
4\/3 di La<\/td>\nquarta inferiore, terza maggiore sul Do<\/td>\nMi<\/td>\n79,012<\/td>\n3<\/td>\n1<\/td>\n11<\/td>\n1<\/td>\n1027,148<\/td>\n<\/tr>\n
2\/3 di Mi<\/td>\nquinta sopra, settima maggiore sul Do<\/td>\nSi<\/td>\n52,675<\/td>\n2<\/td>\n1<\/td>\n3<\/td>\n4<\/td>\n684,6333<\/td>\n<\/tr>\n
3\/4 di Fa<\/td>\nquarta sopra, settima minore sul Do<\/td>\nSi♭<\/td>\n56,25<\/td>\n2<\/td>\n3<\/td>\n0<\/td>\n0<\/td>\n731,3<\/td>\n<\/tr>\n
3\/2 di Si♭<\/td>\nquinta discendente, terza minore sul Do<\/td>\nMi♭<\/td>\n84,375<\/td>\n3<\/td>\n4<\/td>\n6<\/td>\n0<\/td>\n1096,96<\/td>\n<\/tr>\n
3\/4 di Mi♭<\/td>\nquarta superiore, sesta minore sul Do<\/td>\nLa♭≡Sol♯<\/td>\n63,281<\/td>\n2<\/td>\n6<\/td>\n4<\/td>\n6<\/td>\n822,77<\/td>\n<\/tr>\n
3\/2 di Sol♯<\/td>\nquinta discendente, seconda minore sul Do<\/td>\nDo♯<\/td>\n94,922<\/td>\n3<\/td>\n9<\/td>\n6<\/td>\n9<\/td>\n1234,155<\/td>\n<\/tr>\n
3\/4 di Do♯<\/td>\nquarta giusta, quarta aumentata sul Do<\/td>\nFa♯<\/td>\n71,191<\/td>\n2<\/td>\n10<\/td>\n2<\/td>\n0<\/td>\n925,52<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
\"suddivisione<\/a>Una volta trovata l’ottava e suddiviso in dodici semitoni il segmento fra C8′ e c4′, con il compasso si disegna il triangolo equilatero che ha per lato il detto segmento: la base di questo triangolo perciò contiene tutti i tratti corrispondenti ai semitoni. Si congiungono questi ultimi con il vertice opposto. Tracciando un segmento parallelo alla base, passante per le metà dei lati, si ottiene la suddivisione per semitoni della seconda ottava. E nuovamente, tirando un altro segmento parallelo alla base, passante per un quarto dei lati, si individuano le lunghezze delle lastre della terza ottava. Si ripete il procedimento con segmenti paralleli passanti per 1\/8, 1\/16 e 1\/32 dei lati per trovare le ottave più acute.<\/div>\n
La cosiddetta “correzione di bocca” è una quantità (pari a circa due volte il diametro della canna), che si deve sottrarre dalla lunghezza teorica per approssimarsi a quella reale. Essa è trascurabile in fase di progettazione, ma nel caso di canne molto larghe e acute assume valori rilevanti.<\/div>\n
Il sistema geometrico basato sulle coordinate cartesiane consente di analizzare tre parametri, vincolati fra loro da relazioni funzionali ben precise:<\/div>\n
    \n
  1. Disponendo le canne in ordine ascendente dal grave all’acuto, si stabilisce una relazione biunivoca fra il numero progressivo di nota e la lunghezza d’onda.\n