{"id":2514,"date":"2015-02-12T14:41:27","date_gmt":"2015-02-12T13:41:27","guid":{"rendered":"http:\/\/www.nicolaferroni.com\/?p=2514"},"modified":"2016-12-28T21:29:14","modified_gmt":"2016-12-28T20:29:14","slug":"sistemi-mesotonici","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/2015\/02\/12\/sistemi-mesotonici\/","title":{"rendered":"Sistemi mesotonici"},"content":{"rendered":"

Nella scala diatonica naturale o Tolemaica i gradi non sono ottenuti concatenando quarte\/quinte, ma sono derivati principalmente dalla serie armonica<\/a>. Per generare il IV e il VI grado \u00e8 necessaria la trasposizione alla quinta inferiore. Gli intervalli sono rappresentati da rapporti semplici: unisono 1:1 do-do, ottava (diapason<\/i>) 2:1 do-do, quinta (diapente<\/i>) 3:2 do-sol, quarta (diatessaron<\/i>) 4:3 do-fa, terza maggiore (ditono<\/i>) 5:4 do-mi, terza minore (semiditono<\/i>) 6:5 la-do, tono maggiore 9:8 do-re, tono minore 10:9 re-mi, semitono diatonico 16:15 mi-fa. Poich\u00e9 esistono due toni di diversa ampiezza<\/u>, la trasposizione melodica non \u00e8 sempre possibile: ad esempio la terza minore intonata la-do (6:5) non equivale alla terza minore re-fa (32:27), la quinta intonata do-sol (3:2) non equivale alla quinta intonata re-la (40:27).
Gli intervalli sono complementari: tono maggiore e tono minore formano il ditono (10\/9 × 9\/8 = 5\/4), ditono e semitono d\u00e0nno la diatessaron (5\/4 × 16\/15 = 4\/3), semiditono e ditono producono la diapente (6\/5 × 5\/4 = 3\/2), diatessaron e diapente si sommano in diapason (4\/3 × 3\/2 = 2\/1). I teorici greci codificarono le proporzioni mediante il monocordo, avvalendosi del calcolo della media aritmetica e armonica ed escogitando soluzioni geometriche quando i segmenti di corda vibrante sono incommensurabili, cio\u00e8 quando \u00e8 necessario ricorrere a numeri irrazionali. Rappresentando con a e b due segmenti, se ne trova la media aritmetica (a+b)\/2, la media armonica 2ab\/(a+b) e quella geometrica √ab.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
media<\/b><\/td>\na<\/b><\/td>\nb<\/b><\/td>\ndivisione<\/b><\/td>\nintervallo<\/b><\/td>\n<\/tr>\n
aritmetica<\/b><\/td>\nunisono 1:1<\/td>\nottava 2:1<\/td>\n(1+2)\/2=3\/2<\/td>\ndiapente<\/td>\n<\/tr>\n
armonica<\/b><\/td>\nunisono 1:1<\/td>\nottava 2:1<\/td>\n2×(1×2)\/(1+2)=4\/3<\/td>\ndiatessaron<\/td>\n<\/tr>\n
aritmetica<\/b><\/td>\nunisono 1:1<\/td>\nquinta 3:2<\/td>\n(1+3\/2)\/2=5\/4<\/td>\nditono<\/td>\n<\/tr>\n
armonica<\/b><\/td>\nunisono 1:1<\/td>\nquinta 3:2<\/td>\n2×(1×3\/2)\/(1+3\/2)=6\/5<\/td>\nsemiditono<\/td>\n<\/tr>\n
aritmetica<\/b><\/td>\nunisono 1:1<\/td>\nterza maggiore 5:4<\/td>\n(1+5\/4)\/2=9\/8<\/td>\ntono maggiore<\/td>\n<\/tr>\n
armonica<\/b><\/td>\nunisono 1:1<\/td>\nterza maggiore 5:4<\/td>\n2×(1×5\/4)\/(1+5\/4)=10\/9<\/td>\ntono minore<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Quando si tempera una quinta, inevitabilmente si tempera nella direzione opposta anche l’intervallo complementare. Se stringo la quinta D-A, mantenendo fissa l’ottava D-d, allargo contemporaneamente la quarta A-d; allo stesso modo le due terze che si trovano all’interno della quinta D-A sono legate reciprocamente: se stringo la terza maggiore F-A, alzando il F, allargo la terza minore D-F. Anche i due toni che formano il ditono si comportano in questo modo: tenendo fermi gli estremi C-E, e abbassando il D, si stringe il tono maggiore C-D e per conseguenza si allarga il tono minore D-E.<\/p>\n

Tralasciamo per un attimo il sistema dell’intonazione pura o naturale per osservare che il ciclo di quinte\/quarte, siano esse pure o temperate regolarmente della medesima quantit\u00e0, comporta la costruzione di intervalli omogenei, almeno sinch\u00e9 si rimane in ambito diatonico. Ad esempio la concatenazione C-G-D porta alla seconda maggiore C-D e aggiungendo D-A-E si ottengono i toni fra G-A e D-E. Diversamente da quanto accade nel sistema dell’intonazione pura, gli intervalli cos\u00ec generati hanno tutti uguale ampiezza. Se le quinte sono pure, la relazione \u00e8 data dal prodotto 3\/2 × 3\/2 = 9\/8. Se le quinte sono temperate, il tono risultante sar\u00e0 pi\u00f9 stretto; ma comunque, poich\u00e9 C-D \u00e8 uguale a D-E, ne consegue che D \u00e8 sempre il tono medio<\/i>.
\u00c8 opportuno far notare che il rapporto 9:8, ottenuto sommando due quinte, genera un suono che coincide con il nono armonico abbassato di 3 ottave. Ma questa coincidenza \u00e8 unica giacch\u00e9 gli altri intervalli calcolati col metodo pitagorico, sommando quinte, si scostano da quelli naturali della serie armonica.<\/p>\n

Fra i sistemi regolari consideriamo ora quelli che nacquero con l’intento di migliorare le terze maggiori in contrapposizione con il sistema pitagorico.
Tre passaggi nel ciclo di quinte\/quarte costruiscono una sesta maggiore, oppure una terza minore, C-G-D-A > C-A o A-c, mentre quattro passaggi conducono a una terza maggiore, o sesta minore, C-G-D-A-E > C-E o E-c. Affinch\u00e9 l’intervallo raggiunto sia puro, dobbiamo in tutt’e due i casi temperare almeno una delle quinte\/quarte di una quantit\u00e0 ben precisa, chiamata comma sintonico (21,5 cents, rapporto 81:80)<\/b>. Questo minuscolo intervallo equivale a circa l’11% del tono maggiore, e nasce dalla differenza fra esso e il tono minore (9\/8 × 9\/10 = 81\/80, oppure 203.9 – 182.4 = 21.5 cents). Stringendo le quinte concatenate, si correggono la terza maggiore pitagorica, che \u00e8 larga rispetto all’intervallo puro, e la terza minore pitagorica, che per converso \u00e8 stretta rispetto all’intervallo puro.
Anche se non desiderassimo ottenere terze pure, dovremmo in qualche modo temperare le quinte\/quarte per chiudere il circolo dopo dodici passi, per eliminare l’eccesso del comma pitagorico<\/b>.<\/p>\n

Come conseguenza della complementarit\u00e0 degli intervalli, quando temperiamo di 1\/4 di comma sintonico (5.4 cents) ciascuna delle quattro quinte\/quarte concatenate, otteniamo una terza maggiore pura, ma la terza minore che risulta dalla penultima concatenazione \u00e8 stretta di 1\/4 di comma sintonico. D’altra parte, se temperassimo di 1\/3 di comma sintonico (7.2 cents) ciascuna delle tre quinte\/quarte consecutive, otterremmo la terza minore pura, ma la terza maggiore che risulta aggiungendo un ulteriore passaggio nel circolo sarebbe stretta di 1\/3 di comma sintonico.
Pertanto \u00e8 naturale chiedersi quanto sia necessario temperare le quinte\/quarte affinch\u00e9 le terze risultanti, minori e maggiori, siano “ugualmente strette”, cio\u00e8 siano temperate della stessa frazione di comma sintonico. La media aritmetica fra 1\/3 e 1\/4 \u00e8 7\/24, mentre la media armonica \u00e8 2\/7. A rigore per trovare l’esatta quantit\u00e0 \u00e8 necessario calcolare la media geometrica fra 1\/4 e 1\/3. Si tratta cio\u00e8 di estrarre la radice quadrata del prodotto delle due frazioni (ossia 1\/√12, circa 0.289). Le conoscenze matematiche all’epoca di Zarlino erano sufficientemente avanzate da consentire il calcolo (Nicol\u00f2 Tartaglia<\/b> pubblic\u00f2 a Venezia nel 1556 il suo General trattato de’ numeri et misure […]<\/i> in cui spiega la suddivisione geometrica di un dato rapporto in n<\/i> parti e il procedimento per l’estrazione della radice quadrata; Zarlino stesso spiega come estrarre la radice quadrata), tuttavia la frazione 2\/7 (circa 0,286) approssima per difetto il valore irrazionale cercato.
Come s’\u00e8 detto, terza minore e terza maggiore sono complementari, perci\u00f2 se sono diminuite ciascuna di 1\/7 di comma sintonico, la quinta risultante dalla loro somma sar\u00e0 stretta appunto di 2\/7 di comma sintonico (6.1 cents). In altri termini i nuovi intervalli ottenuti sono pi\u00f9 eufonici: la terza minore pitagorica (294 cents, 32:27) si allarga di 6\/7 di comma pur rimanendo ancora stretta rispetto all’intervallo puro, mentre la terza maggiore pitagorica (407.8 cents, 81:64) si stringe di 8\/7 di comma oltrepassando il rapporto naturale.
Zarlino descrive uno strumento, il mesolabio<\/b>, che permette di risolvere il problema per via meccanica: purtroppo, applicato alla lunghezza delle corde vibranti con un intervallo piccolo come il comma sintonico, il grado di precisione non \u00e8 soddisfacente. Comunque l’impianto teorico del sistema di temperamento zarliniano \u00e8 solido e ben definito, tanto da costituire un punto di svolta nella storia dell’accordatura: per la prima volta si definisce con chiarezza matematica cos’\u00e8 un sistema di temperamento regolare mesotonico e quali conseguenze comporta la ricerca di triadi armoniche consonanti.<\/p>\n

A causa della prevalenza della teoria pitagorica, sino alla fine del Quattrocento i rapporti attribuiti agli intervalli musicali erano prevalentemente limitati a quelli in cui numeratore e denominatore sono i numeri 1, 2 e 3 e i loro multipli (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, eccetera), escludendo perci\u00f2 gli altri numeri primi 5, 7, 11, 13, e seguenti. Di conseguenza con questo sistema, conosciuto come tetraktys<\/b> o numero quaternario, gli intervalli di terza\/sesta non venivano descritti con rapporti semplici come lo erano gli intervalli consonanti di unisono, quarta, quinta e ottava.
Inoltre il semitono presentava due diverse nature: quella “cantabile” del semitono diatonico<\/i> (ad esempio Re-Mib o Mi-Fa, limma<\/i>, 90.3 cents, 256:243) e quella “incantabile” del semitono cromatico<\/i> che \u00e8 pi\u00f9 ampio (ad esempio Mib-Mi o Fa-Fa#, apotome<\/i>, 113.7 cents, 2187:2048). Dominava la convinzione che queste proporzioni costituissero la natura intrinseca dell’intervallo, al punto da riflettersi materialmente nelle proporzioni delle corde vibranti o delle canne d’organo. I Pitagorici assegnavano alla terza maggiore la proporzione 81:64. Tuttavia grazie ad Archita, Aristosseno, Tolomeo le proporzioni razionali ed irrazionali erano state ampiamente studiate e dibattute. In particolar modo l’interesse si era focalizzato sulla divisione del tono alla ricerca del minimo intervallo da usare come unit\u00e0 di misura dell’ampiezza.
Durante l’Umanesimo si manifest\u00f2 un forte interesse per l’opera dei teorici greci, stimolato anche dall’esigenza di ampliare il nuovo lessico dell’armonia. Zarlino raccolse numerosi spunti dai teorici che lo precedettero, rivoluzionando il modo di considerare i rapporti musicali, affianc\u00f2 alla tradizione pitagorica le proprie considerazioni pragmatiche sull’intonazione naturale degli intervalli consonanti (perfetti e imperfetti) e introdusse il 5 fra i numeri che generano le proporzioni matematiche. Questa radicale modifica del punto di vista port\u00f2 Zarlino a cercare soluzioni che si potessero attuare sugli strumenti musicali ad intonazione fissa. Egli fu tra i primi a descrivere in modo matematicamente corretto con le esatte quantit\u00e0 alcuni sistemi di temperamento regolari mesotonici, verificando in che misura si avvicinino al nuovo ideale del numero senario<\/b>, cio\u00e8 delle proporzioni naturali degli intervalli.<\/p>\n

Il processo storico che port\u00f2 alla rivoluzione zarliniana \u00e8 documentato da vari teorici che gi\u00e0 nel quindicesimo secolo affrontavano il problema delle consonanze: Bartolomeus Ramis de Pareja<\/b> (1482) fu tra i primi ad occuparsene, seguito da Ludovico Fogliano<\/b> (1529), che riconobbe nella doppia natura del tono nella scala naturale il motivo delle due diverse intonazioni per la nota Re, distanti fra loro un comma sintonico. Tuttavia Giovanni Battista Benedetti<\/a>, matematico e dilettante compositore veneziano, nel 1585 fece notare che l’inseguimento di questo ideale di purezza armonica comporta effetti sorprendenti sul corista, che pu\u00f2 calare o crescere a causa dei continui scarti di comma.
Questo problema \u00e8 risolto dalla voce e dagli strumenti ad intonazione variabile, correggendo continuamente l’ampiezza degli intervalli melodici. Ma per gli strumenti ad intonazione fissa le soluzioni sono pi\u00f9 complesse: spezzare i tasti oppure compromettere la purezza degli intervalli armonici, le due scelte non si escudono vicendevolmente. Cominciarono cos\u00ec a comparire tastiere con divisione dell’ottava in 19, 24, 31 o comunque pi\u00f9 dei consueti 12 tasti, ampliando enormemente le risorse armoniche: la semplice scala diatonica si estese all’ordine cromatico con la serie dei bemolli e dei diesis e quindi all’ordine enarmonico presentando intervalli minuscoli. D’altra parte fiorirono i sistemi cosiddetti “partecipati” che annullano la differenza fra tono maggiore e minore, cio\u00e8 ottengono l’intonazione intermedia, temperando le quinte di frazioni del comma sintonico.<\/p>\n