{"id":2805,"date":"2019-05-09T19:35:14","date_gmt":"2019-05-09T17:35:14","guid":{"rendered":"http:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/?p=2805"},"modified":"2019-05-09T22:06:57","modified_gmt":"2019-05-09T20:06:57","slug":"seminario-del-9-maggio-2019","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/2019\/05\/09\/seminario-del-9-maggio-2019\/","title":{"rendered":"Seminario del 9 maggio 2019"},"content":{"rendered":"

\"\"Il giorno 9 maggio 2019 presso il Conservatorio Martini di Bologna in occasione della VI settimana organistica bolognese<\/strong> organizzata da “Bologna citt\u00e0 degli organi” in collaborazione con “Organi antichi, un patrimonio da ascoltare” ho tenuto il seminario di accordatura con dimostrazioni pratiche all’organo.<\/em>
Il riassunto dell’incontro \u00e8 pubblicato qui di seguito.<\/em><\/p>\n

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Lo spettro armonico, gli intervalli e i battimenti<\/strong><\/h4>\n
\"Serie
Serie dei primi 20 armonici della nota do con gli scostamenti dall’equabile<\/em><\/figcaption><\/figure>\n

Analizzando la composizione dello spettro acustico, troviamo in successione suoni armonici, che hanno frequenze multiple della nota fondamentale secondo i numeri interi.<\/p>\n

Da questo fatto nasce la nozione di intervallo, inteso come rapporto fra le frequenze di due note. Siamo erroneamente abituati a pensare all’intervallo come a uno “spazio” compreso fra sue suoni, o come alla distanza fra due note. Perci\u00f2 parliamo di somma e differenza tra intervalli. \u00c8 proprio il termine “inter-vallo” che rappresenta le note come disposte su una linea. Dovremmo invece abituarci a considerare la relazione matematica tra le frequenze o tra le lunghezze d’onda.<\/p>\n

Torniamo allo spettro armonico per individuare questi rapporti matematici fra gli armonici. Troviamo l\u2019armonico di VIII, che sta in rapporto di 2:1 con la fondamentale. Poi segue la XII, che riconosciamo facilmente come la quinta dell’ottava con il rapporto di frequenza 3:1, segue la XV, poi la XVII (terza maggiore sulla XV, 5:1), la XIX e quindi la XXI (settima minore sulla XV, 7:1), e cos\u00ec via. Pi\u00f9 in alto sono presenti gli armonici di seconda maggiore e settima maggiore.<\/p>\n

\"\"
Armoniche sovrapposte<\/em><\/figcaption><\/figure>\n

Quando due suoni hanno frequenze il cui rapporto \u00e8 un numero intero, ad esempio le due note Fa2 e Fa3 oppure Fa2 e Do4, le due onde sonore sono sovrapponibili. Esse perci\u00f2 possono “con-fondersi”. Ma se le due frequenze stanno in un rapporto irrazionale, si genera il fenomeno del battimento. Il caso pi\u00f9 noto nell’organo \u00e8 quello della voce umana, ottenuta con due canne quasi unisone: si percepisce un suono che ha frequenza intermedia ai due suoni originari ma pulsante. La frequenza di questa pulsazione \u00e8 la differenza delle due altezze.
Nel caso di due suoni lontani come frequenza fondamentale, sono i loro armonici a generare il battimento. Ad esempio se il Do4 non si sovrappone al terzo armonico del Fa2, ma \u00e8 leggermente crescente o calante allora si percepisce una fluttuazione pi\u00f9 o meno rapida dell’intensit\u00e0 sonora. Nel caso dell’ottava l’orecchio \u00e8 disposto a tollerare una pulsazione molto lenta, ma nel caso della dodicesima o della diciassettesima il numero dei battimenti cresce vistosamente non appena una nota si scosta dal rapporto naturale: questi ultimi intervalli dunque sono pi\u00f9 affidabili per la precisione dell’accordatura.<\/p>\n

Il fenomeno dei battimenti \u00e8 quindi utile per accordare gli intervalli e anche per stimare quanto sono stretti o larghi rispetto alla purezza. Si deve sempre tenere conto delle altezze in gioco perch\u00e9 raddoppiando le frequenze raddoppia anche il numero di battimenti.
Il metronomo \u00e8 utile per questo confronto fra intervalli.<\/p>\n

Per temperare della stessa quantit\u00e0 una quinta e una quarta concatenate tramite una nota comune, bisogna confrontare i loro battimenti rispettando la proporzione ben precisa che intercorre:<\/p>\n

    \n
  • confrontando quinta grave e quarta complementare acuta i battimenti raddoppiano (es.: RE1-LA1 e LA1-RE2)<\/li>\n
  • confrontando quarta grave e quinta complementare acuta i battimenti sono uguali (es.: RE1-SOL1 e SOL1-RE2)<\/li>\n
  • confrontando quinta e quarta ascendenti dalla medesima nota grave i battimenti sono nella proporzione di 3 a 4 (es.: RE1-LA1 e RE1-SOL1)<\/li>\n
  • confrontando una quinta e una quarta discendenti dalla medesima nota acuta i battimenti sono nella proporzione di 2 a 3 (es.: Re2-SOL1 e Re2-La1)<\/li>\n<\/ul>\n

    Valgono naturalmente anche le altre combinazioni che si possono dedurre dallo schema, per esempio RE1-LA1 a terzine e SOL1-RE2 a quartine oppure DO1-SOL1 a duine e SOL1-RE2 a terzine; o ancora Re1-SOL1 a terzine e SOL1-DO2 a quartine.<\/p>\n

    \n

    Operazioni con gli intervalli e uso del cent<\/h4>\n

    La teoria dell’accordatura per tutta l’antichit\u00e0, il Medioevo e l’epoca moderna sino al tardo Seicento si \u00e8 basata sullo studio delle proporzioni tra lunghezze di corde vibranti.
    Queste proporzioni sono perci\u00f2 espresse come frazioni, grazie alle quali si possono ricavare le lunghezze d’onda. Si tenga presente che sommare intervalli significa moltiplicare fra loro le proporzioni e sottrarre corrisponde a dividere i rapporti.<\/p>\n

    Ad esempio se dall’ottava togliamo la quinta l’intervallo che rimane \u00e8 una quarta. L’operazione \u00e8 descritta matematicamente come la divisione fra le due frazioni che indicano gli intervalli, cio\u00e8 2\/1 : 3\/2, ossia 2 x 2\/3 = 4\/3.<\/p>\n

    I calcoli sono a volte molto complessi. Per ottenere la ripartizione dell’ottava in intervalli molto piccoli si deve ricorrere all’estrazione di radice. Ad esempio per calcolare la proporzione del semitono rispetto all’ottava, volendo che essa sia divisa in dodici parti uguali, dobbiamo estrarre la radice dodicesima di 2.<\/p>\n

    Dal XVIII secolo, grazie alla diffusione di tavole precalcolate, si cominci\u00f2 a studiare queste relazioni con i logaritmi, che consentono di semplificare le operazioni. Nel secolo successivo, quando si afferm\u00f2 definitivamente il sistema equabile, si introdusse il cent, inteso come la 1200 parte dell’ottava. Il semitono del sistema equabile ad esempio \u00e8 largo 100 cents. Usando questa unit\u00e0, gli intervalli possono essere studiati come se fossero grandezze lineari. Dunque la somma di due semitoni \u00e8 pari a 100+100=200 cents, la met\u00e0 dell’ottava \u00e8 1200\/2=600 cents, e cos\u00ec via.<\/p>\n

    \n

    Il sistema pitagorico<\/h4>\n

    La scala pitagorica \u00e8 concepita secondo il principio della tetraktis<\/i>, che stabilisce una precisa gerarchia tra i numeri interi 1-2-3-4.
    Le note sono generate a partire dalla frequenza di base fatta pari a 1. L’ottava risponde al 2, la quinta al 3\/2, la quarta al 4\/3. La successione di quinte pure porta a individuare tutte le altre note. Ovviamente \u00e8 possibile salire oppure scendere di quinta.<\/p>\n

    Le prime sette note salendo sono Fa-Do-Sol-Re-La-Mi-Si. Come sapete, se continuo a salire costruisco l’ordine dei diesis, se invece espando la serie verso il grave scendendo dal Fa, costruisco l’ordine dei bemolli. L’ottava \u00e8 ottenuta raddoppiando la frequenza, l’ottava dell’ottava corrisponde al doppio del doppio, cio\u00e8 2^2, e cos\u00ec via la serie delle ottave \u00e8 data dalle potenze di 2. La quinta \u00e8 calcolata moltiplicando la frequenza per 3\/2 e analogamente la quinta della quinta corrisponde a 3\/2*3\/2, cio\u00e8 (3\/2)^2, perci\u00f2 la serie delle quinte \u00e8 data dalle potenze di 3\/2. \u00c8 evidente che la serie delle potenze di 2 e quella di 3\/2 non si intersecano, e perci\u00f2 la successione delle quinte pure procede all\u2019infinito sia salendo che scendendo. Dopo le prime 12 note, si approda a una nota, il Si#, che non coincide con la nota di partenza, ma risulta pi\u00f9 acuto. Analogamente, iniziando dal Do e scendendo per quinte, si trova il Dob, che \u00e8 pi\u00f9 basso della nota iniziale.<\/p>\n

    \"\"<\/p>\n

    L\u2019intervallo fra i due estremi del giro di dodici quinte \u00e8 detto comma pitagorico o comma ditonico. Esso \u00e8 pari alla \u201cdifferenza\u201d fra l\u2019intervallo di 12 quinte e l\u2019intervallo di 7 ottave cio\u00e8 23.5 \u00a2
    Procedendo, si genera l’ordine enarmonico e, ancora oltre, alla 53 quinta, il circolo \u00e8 quasi chiuso, perch\u00e9 la nota raggiunta \u00e8 a soli 3.5 cents di distanza dalla nota di partenza.<\/p>\n

    Costruiamo la scala diatonica pitagorica dal Do:<\/p>\n

    \"\"<\/p>\n

    Volendo trovare il valore di diesis e bemolli, si continua nella successione di quinte nelle due direzioni. Ad esempio il Sib \u00e8 ottenuto come quarta della quarta, cio\u00e8 4\/3 x 4\/3 = 16\/9.
    Si ottengono cos\u00ec due diversi tipi di semitono. Il semitono cromatico, ad esempio Mib-Mi, vale 113.68 \u00a2 ed \u00e8 altrimenti noto come apotome; il semitono diatonico, Re-Mib \u00e8 pari a 90.23 \u00a2 detto anche limma. La distanza fra questi due semitoni \u00e8 113.7 \u2013 90.2 = 23.5 \u00a2 il comma pitagorico.<\/p>\n

    Da questo fatto consegue che ad esempio Mib e Re#, che si pongono agli estremi del medesimo ciclo di quinte, non coincidono e dunque la scala cromatica pitagorica non permette la circolazione completa delle tonalit\u00e0, non ammette cio\u00e8 l\u2019enarmonia. Inoltre, poich\u00e9 le quinte sono pure, le terze maggiori sono larghe e dissonanti.<\/p>\n

    Questo sistema fu in vigore nell\u2019Antichit\u00e0 e nel Medio Evo, sino a tutto il secolo XV, \u00e8 eccellente per la monodia e per la prima fase della polifonia, quando la terza maggiore non era considerata come consonanza.<\/p>\n

    Dovendo adattare il sistema pitagorico ai limiti della tastiera di 12 note \u00e8 necessario snaturarlo in una quinta, che non sar\u00e0 pi\u00f9 pura, ma stretta di un intero comma pitagorico.<\/p>\n

    Uno degli esempi storicamente documentati di accordatura pitagorica applicata a uno strumento a tastiera \u00e8 quello proposto da Henri Arnaut De Zwolle verso la met\u00e0 del XV secolo. Egli accorda la serie di quinte pure scendendo verso l\u2019ordine dei bemolli e partendo dalla nota Si. La quinta stretta \u00e8 posta tra Si e Fa#, che per la verit\u00e0 \u00e8 calcolato come Solb (si potrebbe per\u00f2 sacrificare una qualunque altra quinta, in base alle esigenze musicali).<\/p>\n

    Le quattro terze maggiori contenute entro la quinta stretta (cio\u00e8 re-fa#, la-do#, mi-sol# e si-re#) sono quasi pure, perch\u00e9 risultano dal rapporto 8192\/6561, pari a 384.36 \u00a2.<\/p>\n

    \"\"
    Quadrante di Zwolle<\/em><\/figcaption><\/figure>\n
    \n

    L’intonazione naturale<\/h4>\n

    Torniamo ora allo schema della successione armonica ed elenchiamo le note ricondotte all\u2019ambito dell\u2019ottava iniziale: Do-Re-Mi-Sol-Si-do. Notiamo due cose: l\u2019assenza di IV e VI grado, la presenza di note non compatibili con i modelli della tradizione occidentale, giacch\u00e9 il settimo armonico \u00e8 un Sib molto calante, l\u2019undicesimo \u00e8 un Solb molto calante, il tredicesimo \u00e8 un Lab molto crescente.
    Tralasciamo lo studio di questi ultimi armonici, che richiederebbe una specifica trattazione, e che rientra nella microtonalit\u00e0 e nel movimento della cosiddetta “giusta intonazione”. Il IV e il VI grado nella scala naturale non sono derivati dalla serie armonica. Essi sono ottenuti \u201cartificialmente\u201d trasponendo la serie armonica di una quinta verso il basso.<\/p>\n

    Costruiamo la scala diatonica naturale riassumendo la teoria zarliniana, la gamma si costruisce suddividendo armonicamente prima l\u2019intervallo di ottava e poi i due intervalli che se ne ottengono, cio\u00e8 quinta e quarta<\/p>\n

    \"\"
    scala diatonica naturale<\/em><\/figcaption><\/figure>\n

    L\u2019uso della scala diatonica naturale \u00e8 pressoch\u00e8 limitato alla monodia. Problema cruciale \u00e8 l\u2019impossibilit\u00e0 di far coesistere due degli intevalli fondamentali: nella scala diatonica naturale di Do se si accorda pura la terza minore La-Do, come deve essere per il rapporto 6:5, la quinta Re-La non sar\u00e0 mai pura, bens\u00ec risulter\u00e0 stretta di un intervallo detto comma sintonico. L\u2019ampiezza del comma si pu\u00f2 calcolare sottraendo tale quinta stretta (40:27) dalla quinta pura (3:2), cio\u00e8<\/p>\n

    \"\"<\/p>\n

    La scala diatonica naturale non \u00e8 sovrapponibile alla scala diatonica pitagorica; inoltre essa non permette di trasporre a causa dei due diversi intervalli di tono: do-re, fa-sol, la-si nel rapporto 9:8 e re-mi, sol-la nel rapporto 10:9. Fu proprio questa caratteristica a stimolare la ricerca della proporzione che individua il tono medio, dividendo la terza maggiore in due parti uguali.<\/p>\n

    \"\"
    tono maggiore e tono minore<\/em><\/figcaption><\/figure>\n

    Accordiamo il MI con il diapason, e da questo intoniamo il DO una terza maggiore pura sotto, e quindi il SOL una terza minore sopra. Otterremo la quinta pura DO-SOL. Dal DO scendiamo di una quarta pura, accordando il SOL all\u2019ottava inferiore. Dal MI saliamo di quarta pura, accordando il LA. Otteniamo due seste maggiori pure: SOL-MI e DO-LA. Faccio notare che le note SOL-LA sono in rapporto di 10:9, cio\u00e8 l\u2019ampiezza del tono minore. Dal SOL grave saliamo di una quinta pura al RE, creando un intervallo di tono maggiore (9:8) tra DO e RE, un tono minore tra RE e MI e una quinta stretta RE-LA, che \u00e8 rappresentata dal rapporto 40:27. A questo intervallo manca un intero comma sintonico (40\/27 \u00d7 81\/80 = 3\/2) e non \u00e8 usabile in quanto molto dissonante.<\/p>\n

    Se comparato con il comma pitagorico, quello sintonico \u00e8 poco pi\u00f9 stretto, 21.5 cents contro 23.5. La differenza tra i due commi \u00e8 detta schisma e vale 2 cents.<\/p>\n

    \n

    Il sistema mesotonico<\/h4>\n

    Con l’Ars nova e poi nel Rinascimento cominci\u00f2 ad affermarsi l’uso di terze maggiori di giusta intonazione anche negli strumenti ad intonazione fissa, come l’organo e il cembalo.
    Zarlino fu uno dei principali teorici a favore della diffusione del sistema mesotonico, cio\u00e8 di un sistema che privilegia l’intervallo di terza maggiore, accordato puro, temperando l’intervallo di quinta.<\/p>\n

    Infatti, volendo mantenere pura la terza maggiore DO-MI, possiamo correggere la posizione del RE, abbassandolo un po\u2019, cos\u00ec da temperare la quinta SOL-RE e il tono maggiore DO-RE e allargare di conseguenza l\u2019intervallo RE-LA e il tono minore RE-MI. In questo modo si trova il tono medio, cio\u00e8 il tono che divide in due parti uguali la terza maggiore pura. Ciascuna delle due quinte \u00e8 stretta di mezzo comma sintonico. Ma esse non sono ancora accettabili. Secondo Zarlino, l’orecchio non pu\u00f2 tollerare quinte strette di mezzo comma sintonico, ma pu\u00f2 accettare quelle temperate di un quarto. Poich\u00e8 la terza maggiore \u00e8 raggiungibile dopo 4 passi nel circolo delle quinte, ad esempio Do-Sol-Re-La-Mi, Zarlino propone di temperare tutte le quinte di un quarto di comma, ottenendo cos\u00ec una terza maggiore pura ogni quattro quinte strette.
    In questo modo si ottiene un semitono diatonico (117.1 cents) che \u00e8 pi\u00f9 largo di quello cromatico (76 cents) di circa una volta e mezza.<\/p>\n

    Usando il metronomo per calibrare il numero di battimenti delle quattro quinte\/quarte che formano la terza maggiore pura Do-Mi che sta alla base dell’impianto si pu\u00f2 seguire questo schema ritmico:<\/p>\n

    \"\"
    battimenti di quarte e quinte che formano la terza do-mi nell’ottava centrale col sistema mesotonico a 1\/4 di comma sintonico<\/em><\/figcaption><\/figure>\n

    Si nota che la sesta maggiore do-la ha quasi lo stesso numero di battimenti della quarta mi-la: tale relazione vale per tutte le seste maggiori e quarte aventi similmente la nota acuta in comune.
    Con il metronomo fissato a 72 battiti al minuto si scandiscono duine per la quinta do-sol e terzine per la quarta re-sol. Poi si rallenta il metronomo a 54 battiti\/minuto e sar\u00e0 cos\u00ec possibile scandire a quartine, anzich\u00e8 a terzine, la stessa quarta re-sol. La successiva quinta re-la dovr\u00e0 essere scandita a terzine, che, accelerando il metronomo a 81 pulsazioni\/minuto, corrispondono alla scansione a duine. Con questo stesso valore al metronono passiamo a scandire la quarta mi-la. Concluso questo procedimento, la terza maggiore do-mi deve risultare pura.
    Sulle cinque note generate (do-sol-re-la-mi) si accordano le terze maggiori pure che servono a completare l’ottava: do-mi-sol#; mib-sol-si; sib-re-fa#; fa-la-do#.<\/p>\n

    In contrapposizione al sistema pitagorico nei sistemi mesotonici regolari il semitono diatonico \u201ccantabile\u201d \u00e8 pi\u00f9 ampio di quello cromatico \u201cincantabile\u201d. Ci\u00f2 produce una vistosa inversione della qualit\u00e0 melodica di questi due intervalli rispetto alla tradizione medievale: la funzione di \u201csensibile\u201d transitoria, ossia di grado alterato in una scala, \u00e8 associata a una piccola inflessione, mentre quella di \u201csensibile\u201d stabile nella successione diatonica \u00e8 legata ad un salto pi\u00f9 ampio.<\/p>\n

      \n
    • Temperando le quarte\/quinte di 1\/3 di comma, il semitono diatonico (126.1 cents) \u00e8 circa il doppio di quello cromatico (63.5 cents).<\/li>\n
    • Temperando di 1\/4 di comma, si ottiene un semitono diatonico (117.1 cents) che \u00e8 pi\u00f9 largo di quello cromatico (76 cents) di circa una volta e mezza.<\/li>\n
    • Temperando di 1\/5 di comma, si genera un semitono diatonico (111.7 cents) pi\u00f9 largo di quello cromatico (83.6) di una volta e un terzo.<\/li>\n
    • Si procede al sistema a 1\/6 di comma (diatonico 108.1 cents, cromatico 88.6 cents).<\/li>\n
    • Si pu\u00f2 spingere questa procedura sino a 1\/11 di comma sintonico, ottenendo un sistema regolare mesotonico equivalente al moderno sistema equabile, dato che 1\/11 di comma sintonico equivale a 1\/12 di comma pitagorico; sicch\u00e9 dopo dodici quarte\/quinte il ciclo si chiude. Attraverso questi diversi gradi di temperamento il lupo \u00e8 stato progressivamente ridotto sino ad annullarlo e i semitoni finiscono per avere tutti la stessa ampiezza (100 cents).<\/li>\n<\/ul>\n\n\n

      <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      Il giorno 9 maggio 2019 presso il Conservatorio Martini di Bologna in occasione della VI settimana organistica bolognese organizzata da “Bologna citt\u00e0 degli organi” in collaborazione con “Organi antichi, un patrimonio da ascoltare” ho tenuto il seminario di accordatura con<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2,8],"tags":[206],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2805"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2805"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2805\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2805"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2805"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2805"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}