Prima di cominciare un nuovo capitolo sui sistemi di temperamento irregolari, voglio riassumere gli argomenti trattati sinora. Ho esposto la teoria degli intervalli e mi sono occupato dei due sistemi cardinali dell’accordatura, cio\u00e8 il sistema pitagorico e quello di giusta intonazione. Faccio notare per inciso che questi sistemi definiscono le note usando intervalli puri<\/u>. Quindi \u00e8 sbagliato usare l’espressione “temperamento pitagorico”, come spesso si sente dire: \u00e8 una contraddizione, perch\u00e9 nel sistema pitagorico le quinte non sono temperate!
\nInfine ho illustrato alcuni sistemi di temperamento regolari, in particolare quelli mesotonici.<\/p>\nClassificazione degli strumenti<\/h3>\n
Il temperamento \u00e8 legato all’evoluzione degli strumenti musicali, anzi vorrei quasi dire che nasce proprio in risposta alle loro caratteristiche costruttive. Infatti gli strumenti musicali si possono classificare in base alla capacit\u00e0 di modificare l’intonazione delle note. Negli strumenti ad intonazione fissa<\/u> la frequenza di ciascuna nota \u00e8 stabilita prima dell’esecuzione e normalmente non pu\u00f2 essere cambiata senza interrompere l’esecuzione stessa. Questi sono ad esempio gli strumenti dotati di tastiera: cembalo, organo, pianoforte, armonium, fisarmonica; oppure quelli nei quali la frequenza \u00e8 prestabilita per ciascuna corda come nell’arpa; oppure ancora quelli in cui la si determina per mezzo di “tasti” o laccetti disposti lungo il manico, come in liuto, chitarra, viola da gamba. Inoltre buona parte delle tastiere elettroniche e MIDI meno sofisticate, come anche i software musicali pi\u00f9 elementari, non sono pensati per aggiustare al volo l’intonazione, semplicemente adottano il temperamento equabile a 12 note, con la rudimentale opzione della pitch-bend wheel<\/i>.
\nGli archi, la voce, gli strumenti a fiato (chi pi\u00f9 chi meno) sono liberi di aggiustare la frequenza nel momento stesso in cui si produce il suono. Ci\u00f2 permette loro di attenersi al criterio della giusta intonazione. Tuttavia sono strumenti prevalentemente melodici, producono un solo suono alla volta. Gli altri invece sono strumenti che possono produrre pi\u00f9 note contemporaneamente, ma solo con frequenze predefinite.
\nEbbene, da questa semplice classificazione ha origine la teoria dell’accordatura, che si applica agli strumenti con tastiera, e perci\u00f2 anche all’organo.
\n<\/p>\nL’esacordo e la solmisazione<\/h3>\n
I primi organi a canne sono documentati sin dall’antichit\u00e0, tuttavia l’aspetto della tastiera si defin\u00ec gradualmente nel tardo Medioevo. Le fonti iconografiche medievali mostrano ad esempio organi portativi dotati di una bottoniera, una sorta di tastiera diatonica, cio\u00e8 senza i tasti neri, o talvolta con un solo tasto cromatico.
\nCi\u00f2 \u00e8 dovuto al fatto che il repertorio musicale del Medioevo e la polifonia modale antica sono sostanzialmente diatonici<\/b>.
\nMi voglio soffermare un po’ su questo argomento, per chiarire come la tastiera arriv\u00f2 alla forma attuale.
\nI teorici medievali descrivono la grammatica del linguaggio modale attraverso la teoria degli esacordi, e usano la tecnica della solmisazione per indicare le note e gli intervalli.
\nPer inciso, ricordo che nel sistema pitagorico il tono<\/b> \u00e8 un intervallo con rapporto costante di 9:8<\/b>. Il semitono diatonico \u00e8 detto limma<\/b> ed \u00e8 indicato con il rapporto costante di 256:243<\/b>.
\nSemplificando molto il discorso, l’esacordo \u00e8 l’espediente mnemonico usato per definire una successione diatonica che abbraccia una sesta maggiore, con un solo intervallo di semitono posto al centro: due toni + un semitono + due toni. Questi sei gradi sono chiamati con le sillabe ut, re, mi, fa, sol, la<\/i>. Esse perci\u00f2 indicano le altezze relative delle note all’interno dell’esacordo. Sicch\u00e9 il semitono diatonico cade sempre tra le sillabe mi-fa. Il tono invece pu\u00f2 essere cantato con le sillabe ut-re, re-mi, fa-sol, sol-la. La terza minore usa le sillabe re-fa oppure mi-sol, mentre la terza maggiore si solfeggia ut-mi oppure fa-la; e cos\u00ec via.
\nIl sistema, nato nel contesto del canto gregoriano, continu\u00f2 ad essere usato anche dai polifonisti.
\nNel XVI secolo i teorici Glareano e Zarlino codificarono un pi\u00f9 vasto sistema di dodici toni: gli otto toni originari (quattro autentici e quattro relativi plagali, impostati sulle quattro note Re, Mi, Fa, Sol) pi\u00f9 i quattro nuovi toni (per analogia due autentici e due plagali, impostati su Ut e La).
\nQuando la linea melodica travalica l’ambito dell’esacordo, oppure quando si vuole indicare un intervallo non contemplato dalla serie come ad esempio la sesta minore o il tritono, \u00e8 necessario ricorrere alla trasposizione dell’esacordo, secondo opportune regole. Questo procedimento si chiama mutazione<\/b>.
\nPer evitare confusione fra le sillabe della solmisazione (che sono sei) e quelle del solfeggio moderno (che sono sette con l’aggiunta del si<\/i>), indicher\u00f2 la frequenza o “altezza assoluta”, rappresentata dalle note della tastiera, con il sistema alfabetico, per mezzo delle lettere da A a G.
\nLe trasposizioni in uso sono due. Quella alla quinta superiore, esacordo duro<\/b>, abilita l’uso del B “duro” e il semitono diatonico B-C; quella alla quarta superiore, esacordo molle<\/b>, abilita l’uso del B “molle”, con il semitono diatonico A-Bb.
\nQuindi uno stesso tasto riceve diverse sillabe di solmisazione a seconda dell’esacordo in cui \u00e8 inquadrato.
\nDopo la mutazione le sillabe della solmisazione identificano i gradi del nuovo esacordo, non pi\u00f9 quelli originari. Per esempio nel primo tono la scala ascendente \u00e8 solmizata re-mi-fa-sol\/re-mi-fa-sol<\/i> con mutazione dall’esacordo naturale a quello duro, mentre la stessa scala discendente \u00e8 solmizata sol-fa-mi\/la-sol-fa-mi-re<\/i> con la mutazione opposta.
\nQuesto schema di trasposizioni, unito ad altre regole pi\u00f9 complesse, permette di identificare tutti gli intervalli in uso nella cosiddetta “musica recta”.
\nTuttavia esso nasconde in s\u00e8 un nuovo intervallo, il semitono cromatico Bb-B, posto fra i due esacordi molle e duro, fra loro disgiunti<\/u>. Pur essendo stato studiato e applicato nel Trecento da Marchetto da Padova, esso rimase a lungo ai margini del nostro sistema musicale. Ulteriori passi furono compiuti nel secolo successivo espandendo l’ordine cromatico con l’uso caratteristico del semitono in cadenza. Ad esempio nel Primo Modo la nota Do che precede il Re finale \u00e8 normalmente alterata in Do# nelle clausole. Per solmizare questo semitono diatonico correttamente con le silabe distintive mi-fa \u00e8 perci\u00f2 necessario ricorrere ad un immaginario esacordo trasposto sulla nota A. Da qui viene appunto la definizione di “musica ficta”, musica in cui \u00e8 necessario figurarsi esacordi provvisori al di l\u00e0 della normale prassi della mano guidoniana.
\nSimilmente si introdussero anche il Fa# e da ultimo il Sol# per le cadenze su altre note. A questi tre diesis vanno sommati Sib e Mib usati nella cosiddetta cadenza “frigia” oppure per evitare il tritono. In questo caso per indicare il semitono diatonico discentente la solmisazione ricorre alle sillabe fa-mi oppure fa-la in relazione alle caratteristiche della linea melodica.
\nDato questo contesto, la tastiera assunse gradualmente l’aspetto attuale con 7 note diatoniche per ottava e 5 note cromatiche, per un totale di 12 suoni. Quindi l’ampliamento della tastiera all’ordine cromatico prevede l’aggiunta di 3 diesis e 2 bemolli soltanto.
\n<\/p>\nLa scala<\/h3>\n
L’evoluzione storica dei sistemi di accordatura adottati con tale configurazione della tastiera si pu\u00f2 riassumere brevemente ricordando che le note musicali sono definite con il criterio dei rapporti di frequenza. Il ruolo di nota “corista”, cio\u00e8 il suono di riferimento assoluto del sistema, oggi \u00e8 dato al La3, corrispondente al La centrale del pianoforte o dell’organo nella tessitura di 8′. La sua frequenza stabilita convenzionalmente \u00e8 di 440 Hz alla temperatura di 20\u00b0 centigradi.
\nLa scala diatonica che si costruisce partendo da questo suono \u00e8 dunque la scala di La maggiore. Ma poich\u00e8 il sistema di nomenclatura delle note inizia solitamente dal Do, mi atterr\u00f2 a questa convenzione, adottando il Do corista. Perci\u00f2 F1 = 261,625565 Hz
\nLe rimanenti sei note della serie diatonica hanno frequenze F2, F3 … F7 calcolate secondo precisi rapporti numerici. Questi rapporti tra frequenze sono rappresentati da numeri reali maggiori di 1 e minori di 2. Ad esempio sia nel sistema pitagorico, sia in quello di giusta intonazione, F5 = F1 * 3\/2 = 392,4383475 Hz. La serie diatonica di sette note \u00e8 ripetuta verso l’acuto raddoppiando queste frequenze, sicch\u00e9 F8, l’ottavo suono della successione, ha frequenza pari a F1 * 2 = 523,25113 e forma con il corista l’intervallo di ottava. Cos\u00ec anche la nota F12 = 784,876695 Hz forma un intervallo di ottava con F5. In modo analogo, dimezzando le frequenze si sposta la serie verso il grave.<\/p>\n
Gli intervalli di giusta intonazione sono percepiti come puri, cio\u00e8 privi di battimenti e presentano rapporti razionali semplici, ottenuti ponendo numeri interi “piccoli” (grosso modo entro la decina) sia al numeratore che al denominatore della frazione generatrice: per esempio con il rapporto 3\/2 si genera l’intervallo di quinta ascendente. Quando si uniscono due intervalli si ottiene un intervallo pi\u00f9 ampio in cui il nuovo rapporto tra le frequenze \u00e8 dato dal prodotto dei due rapporti iniziali. Cos\u00ec la terza maggiore e la terza minore sommate d\u00e0nno la quinta: 5\/4 x 6\/5 = 6\/4 = 3\/2.
\nIl complemento della quinta per formare l’ottava \u00e8 la quarta, infatti 3\/2 X 4\/3 = 2.
\nConcatenando pi\u00f9 intervalli in serie, si supera in ampiezza l’intervallo di ottava, e allora \u00e8 necessario dimezzare la frequenza della nota acuta per portarla nell’ambito di riferimento.
\nAd esempio la quinta della quinta \u00e8 un intervallo di nona, pi\u00f9 ampio dell’ottava, perci\u00f2 la frequenza F9 \u00e8 dimezzata cos\u00ec da ottenere F2, e analogamente quattro quinte concatenate generano un intervallo di diciassettesima, che viene ridotto alla terza maggiore dividendo per quattro la frequenza della nota acuta, cos\u00ec da ottenere F3.<\/p>\n
Questo procedimento pu\u00f2 essere semplificato alternando intervalli di quinta ascendente (f*3\/2) e quarta discendente (f*3\/4). Nasce cos\u00ec la serie diatonica Fa-Do-Sol-Re-La-Mi-Si del sistema pitagorico, che adotta la quinta come intervallo generatore; ci\u00f2 significa quindi che le frazioni ottenute con l’elevamento a potenza del rapporto 3\/2 avranno tutte il fattore 3 in comune. Per questo motivo il sistema \u00e8 definito d’ordine 3, in inglese 3-limit tuning, intendendo con ci\u00f2 che il numero 3 \u00e8 il limite armonico del sistema, infatti oltre all’ottava l’unico altro suono sovrapponibile alla serie armonica naturale \u00e8 la dodicesima, che ha frequenza tripla del suono fondamentale. Dunque, eccettuate ottava, quinta e quarta, in questo sistema i rapporti intervallari sono complessi. Vediamo solo quelli tra F1 e le altre sei note: la seconda maggiore tra F1 e F2 \u00e8 (3^2)\/(2^3)=9\/8, la sesta maggiore tra F1 e F6 \u00e8 (3^3)\/(2^4)=27\/16, la terza maggiore tra F1 e F3 \u00e8 (3\/2)^4=81\/64, la settima maggiore tra F1 e F7 \u00e8 (3\/2)^5=243\/128, e cos\u00ec via.<\/p>\n
Due altri intervalli di giusta intonazione sono la terza maggiore, che \u00e8 ottenuta col rapporto 5\/4, e la terza minore generata dal rapporto 6\/5. Il sistema diatonico tolemaico (la scala naturale diatonica di giusta intonazione) usa la decimasettima maggiore come limite armonico, cio\u00e8 il suono che ha frequenza quintupla del suono fondamentale. Perci\u00f2 questo sistema \u00e8 un 5-limit tuning, con rapporti intervallari pi\u00f9 semplici, perch\u00e9 le note hanno frequenze ricavate attraverso i primi cinque suoni armonici di F1.
\nLa seconda maggiore tra F1 e F2 \u00e8 ancora (3^2)\/(2^3)=9\/8, per\u00f2 la terza maggiore tra F1 e F3 \u00e8 5\/4, la sesta maggiore tra F1 e F6 \u00e8 (4\/3)x(5\/4)=5\/3, la settima maggiore tra F1 e F7 \u00e8 (3\/2)x(5\/4)=15\/8, eccetera.<\/p>\n
Come ho detto, nuove note furono aggiunte all’ordine diatonico a partire dal tardo Medioevo. L’ordine cromatico fu introdotto espandendo la successione dal Si verso i diesis (Fa#-Do#-Sol#) e dal Fa verso i bemolli (Sib-Mib). In teoria si pu\u00f2 andare oltre, ovviamente non su una tastiera convenzionale, verso le note Re#-La#-Mi#-Si# da un lato e verso Lab-Reb-Solb-Dob-Fab dall’altro, tuttavia il metodo delle quinte pure comporta due conseguenze notevoli.
\nPrimo grosso inconveniente: la concatenazione delle quinte non chiude l’ottava.
\nSe si moltiplica pi\u00f9 e pi\u00f9 volte una frequenza per 3\/2 (elevando cio\u00e8 3\/2 a potenza, F1 * 3\/2 * 3\/2 * 3\/2), dopo dodici passi e con i necessari dimezzamenti per ridurlo all’ottava, l’intervallo ottenuto \u00e8 formalmente una settima aumentata pitagorica (se iniziamo da Fa giungiamo a Mi#) il cui rapporto \u00e8 poco maggiore di 2 (531441\/262144 circa 2,027); la differenza con l’intervallo di ottava si chiama comma pitagorico<\/b>. Aumentando il numero di note nell’intervallo di ottava, gli spazi tra esse si riducono: cos\u00ec nelle coppie Mi#-Fa, Si#-Do, Si-Dob e Mi-Fab le frequenze sono molto ravvicinate, pur avendo ciascuna nota una funzione musicale ben distinta. Inoltre anche le coppie Fa#-Solb, Do#-Reb, Sol#-Lab, Re#-Mib e La#-Sib presentano suoni dalle frequenze molto vicine fra loro. Potremmo espandere la serie di quinte in una spirale infinita, giungendo sempre pi\u00f9 in prossimit\u00e0 di note gi\u00e0 toccate. Se dopo 12 passi lo scarto accumulato \u00e8 pari a un intero comma pitagorico, cio\u00e8 24 cents, dopo 24 passi la deviazione diventa di 2 commi e cos\u00ec via. Inoltre, si deve tener conto che lo scarto \u00e8 positivo salendo verso i diesis, ma \u00e8 negativo scendendo verso i bemolli. Da Fa si giunge a Mi# che equivale a Fa + 1 comma, mentre da Si approdiamo a Dob che equivale a Do – 1 comma. Con 48 passi si genera uno scostamento di 93.84 cents, di poco pi\u00f9 ampio del semitono diatonico pitagorico pari a 90.22 cents. Perci\u00f2 una serie di 48 quinte pure permetterebbe quasi la sovrapposizione dei due estremi.
\nVeniamo ora al secondo inghippo di cui parlavo prima: la terza minore e la terza maggiore pitagoriche, generate rispettivamente dopo tre e dopo quattro passi nella catena delle quinte, si discostano molto dagli intervalli di giusta intonazione, la differenza si chiama comma sintonico<\/b> ed \u00e8 poco minore del comma pitagorico. La differenza tra i due commi si chiama schisma<\/b>.
\nPer inciso, faccio notare che, come la concatenazione di quinte, anche la concatenazione di terze maggiori pure non porta a un circolo chiuso. Se ad esempio da Mib si costruisce una pila di terze maggiori, essa potrebbe ergersi all’infinito: Mib-Sol-Si-Re#-Fa##-La##-Do###… Tra Mib e Re# c’\u00e8 un intervallo di settima aumentata, pi\u00f9 stretto dell’ottava di 41 cents, il cosiddetto comma enarmonico.
\n<\/p>\nI temperamenti<\/h3>\n
Tra la fine del Quattrocento e l’inizio del Cinquecento si afferma il sistema di temperamento mesotonico a un quarto di comma: 11 quinte sono ridotte di circa 5 cents, l’intervallo restante \u00e8 il “lupus”, 8 terze maggiori sono pure. Ma durante il tardo Rinascimento e pi\u00f9 ancora in epoca barocca si cominciarono ad escogitare ritocchi al sistema mesotonico classico, che permettessero di usare con maggiore libert\u00e0 i tasti cromatici, cominciando con quelli pi\u00f9 comunemente richiesti dalla prassi ovvero Re#-Mib, Sol#-Lab, La#-Sib. L’altra via percorribile, cio\u00e8 l’aggiunta di tasti spezzati, fu adottata con minor fortuna, poich\u00e9 \u00e8 molto dispendiosa, specialmente nel caso degli organi, e richiede all’esecutore abilit\u00e0 non comuni. In Italia una considerevole diffusione di strumenti con tastiere di questo tipo si afferm\u00f2 soprattutto nella prima met\u00e0 del Seicento, sostenuta anche da circoli musicali molto importanti tra le corti di Ferrara, Napoli e Roma.
\nMa in epoca moderna, dal secondo Seicento in poi, nuove esigenze armoniche e tonali, oltre alla prassi della trasposizione, comportarono l’abbandono delle tastiere “allargate”. Il temperamento anche degli intervalli di terza non fu pi\u00f9 visto come un tab\u00f9 e si giunse cos\u00ec a lasciare intatto solamente il rapporto d’ottava.
\nDal punto di vista matematico, le operazioni richieste nella teoria degli intervalli erano limitate a rapporti fra numeri interi, richiedendo in alcuni casi l’applicazione di criteri geometrici di proporzionalit\u00e0 per calcolare la lunghezza teorica della corda vibrante nel monocordo. Ma sin dal tardo Rinascimento cominciarono a comparire operazioni pi\u00f9 complesse della semplice moltiplicazione e divisione di numeri interi, volte a suddividere gli intervalli principali in parti minime da usare poi come modulo per l’accordatura. Gli strumenti teorici (elevamento a potenza, estrazione di radice, logaritmi) cominciavano ad essere sufficientemente conosciuti e affidabili, mentre il monocordo si rivel\u00f2 sempre pi\u00f9 impreciso nel calcolo delle lunghezze d’onda. Infatti dividere un rapporto in n parti uguali significa estrarne l’ennesima radice (in sostanza \u00e8 la divisione di una divisione). L’ottava \u00e8 ripartita in dodici intervalli, e dunque la radice dodicesima di 2 \u00e8 il valore che permette di ottenere la frequenza della nota che sta a un semitono dalla nota di riferimento. Operare con rapporti semplici, come il 2:3 che genera la quinta pura, non permette di ottenere la suddivisione dell’ottava in parti uguali, perch\u00e9 1:2 e 2:3 non sono commensurabili, e questa incongruenza risulta nel comma, come abbiamo visto.
\nRipetendo l’estrazione di radice e semplificando si ottiene la radice sesta di 2, valore che divide l’ottava in sei parti uguali a distanza di tono l’una dall’altra. Poi ancora la radice quarta di 2 divide l’ottava in quattro parti uguali a distanza di terza minore, e la radice cubica di 2 divide l’ottava in tre terze maggiori. Da ultimo la radice quadrata di 2 divide l’ottava in due tritoni.
\nPer aggirare la difficolt\u00e0 del computo dell’estrazione di radice, si ricorreva un tempo alle propriet\u00e0 dei logaritmi, che consentono di semplificare il calcolo, riducendo di grado le operazioni. Nell’Ottocento grazie alle tavole logaritmiche fu introdotto il cent<\/b> come unit\u00e0 elementare per il calcolo dell’ampiezza degli intervalli. L’ottava \u00e8 convenzionalmente rappresentata dal valore 1200 cents, la quinta pura ne vale circa 702 e la terza maggiore ne vale circa 386, il comma pitagorico circa 23.5, quello sintonico circa 21.5, lo schisma circa 2.
\nIl cent \u00e8 adottato universalmente come unit\u00e0 di misura dell’ampiezza degli intervalli, ma presenta un inconveniente determinato dal fatto che il suo inventore, il britannico Alexander John Ellis<\/i>, si bas\u00f2 sul sistema di temperamento equabile. La divisione del semitono equabile in cento microintervalli \u00e8 puramente convenzionale ed \u00e8 veramente conveniente in un solo caso, quando cio\u00e8 viene applicata al sistema equabile per indicarne gli intervalli con numeri interi facilmente memorizzabili. Ma ogni altro intervallo, da quelli di giusta intonazione a quelli che compaiono nei vari sistemi d’accordatura, risulta sempre approssimato ad almeno cinque o sei cifre decimali, se si vuole operare con un buon grado di precisione, altrimenti il computo di uno scomparto d’ottava riesce sempre difettoso per l’accumularsi degli errori d’arrotondamento.
\nPer questo motivo e per convenienza mnemonica l’organaro John Brombaugh<\/i> propose e adott\u00f2 nella seconda met\u00e0 del Novecento una nuova unit\u00e0 di misura, detta Temperament Unit<\/b> o TU<\/b>, che \u00e8 fissata nella 720 parte del comma pitagorico. Questo accorgimento permette di indicare con 660 l’ampiezza del comma sintonico e con 60 l’ampiezza dello schisma, a meno di un minuscolo scarto davvero irrilevante. Ebbene 720, 660 e 60 sono divisibili esattamente per 2, 3, 4, 5, 6, e 12, che sono i numeri comunemente usati nel temperamento delle quinte: ad esempio 4 nel comune tono medio, 12 nell’equabile, eccetera. Perci\u00f2 la descrizione di qualunque sistema d’accordatura espressa in TU \u00e8 possibile ricorrendo a soli numeri interi, facilmente memorizzabili. Altre unit\u00e0 di misurazione sono state proposte per i cosiddetti nanointervalli, ma ci\u00f2 porterebbe la discussione troppo lontano. La proposta di Brombaugh \u00e8 rimasta pressoch\u00e9 inascoltata, anche a causa del livellamento allo standard equabile e della diffusione dell’informatica, che ha eliminato ogni difficolt\u00e0 mnemonica e computazionale.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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