- \n
- mediante la lunghezza d’onda<\/strong>, misurata in metri (in organaria un’altra unit\u00e0 di misura \u00e8 il piede pari a 324 mm). Do1 = 8′ oppure 2500 mm circa.<\/li>\n
- mediante la frequenza<\/strong>, misurata in Herz o cicli\/secondo; per esempio il La3<\/sub> ha una frequenza di 440 Hz.<\/li>\n<\/ul>\n
La frequenza \u00e8 inversamente proporzionale alla lunghezza d’onda: ci\u00f2 significa che raddoppiando la lunghezza la frequenza dimezza (una canna d’organo di 8′ suona all’ottava inferiore rispetto a una di 4′).<\/p>\n
L’intervallo<\/strong> fra due suoni viene espresso mediante il rapporto delle loro frequenze.<\/p>\n
Do1<\/sub>-Do2<\/sub> sono in rapporto di 1 a 2 (ossia 1:2 se intendiamo indicare la lunghezza d’onda di Do2<\/sub> rispetto a Do1<\/sub>, oppure 2:1 se invece rapportiamo la frequenza del Do2<\/sub> a quella del Do1<\/sub>).<\/p>\n
Do1<\/sub>-Sol1<\/sub> sono in rapporto di lunghezza pari a 2:3 e di frequenza pari a 3:2 (infatti la canna d’organo che produce il Sol1<\/sub> misura 8′ \u00d7 2\/3 = 5.1\/3′).<\/p>\n
Nel linguaggio comune l’intervallo \u00e8 inteso come differenza<\/em> tra le altezze di due suoni, tuttavia si tratta correttamente di un rapporto<\/em> tra le frequenze.<\/p>\n
Ad esempio la quinta giusta Do-Sol non<\/u> si indica con la differenza tra la frequenza pi\u00f9 alta e quella pi\u00f9 bassa<\/p>\n
errato!<\/span> Sol – Do => 391.2215 – 261.6256 Hz<\/p>\n
ma col rapporto<\/p>\n
corretto<\/span> Sol : Do => 391.2215 \u00f7 261.6256 pari a 3:2 ossia 1.5<\/p>\n
Per convenzione grafica, quando vogliamo specificare la natura di un intervallo in termini aritmetici usiamo il segno di divisione, mentre se ne vogliamo indicare l’ampiezza o mostrare il rapporto lo esprimiamo mediante una frazione: cos\u00ec l’intervallo di quinta pura si rappresenta con 3:2 (tre a due<\/span>) e l’ampiezza con 3\/2 (tre mezzi<\/span>) o con il decimale 1.5<\/p>\n
Le operazioni fra intervalli espressi con frazioni si svolgono nel modo seguente:<\/p>\n
- \n
- Somma di due intervalli => prodotto delle frazioni che li rappresentano:
\nquarta + quinta = ottava si scrive 4\/3 \u00d7 3\/2 = 2<\/li>\n - Sottrazione di un intervallo da un altro => divisione delle frazioni corrispondenti:
\nottava – quinta = quarta si scrive 2\/1 \u00f7 3\/2 = 4\/3<\/li>\n - Moltiplicazione di un intervallo => elevazione a potenza della frazione:
\nquinta + quinta + quinta + quinta = decimasettima maggiore pitagorica
\nsi scrive (3\/2)4<\/sup> = 81\/16<\/li>\n- Suddivisione di un intervallo in pi\u00f9 parti uguali => estrazione di radice della frazione:
\nla divisione dell’ottava in 6 toni uguali, come sono nel temperamento equabile moderno si calcola come 6<\/sup>√2 = 1,122462<\/li>\n<\/ul>\nSe si considera l’ottava come l’ambito entro cui rapportare tutti gli intervalli, si nota che ciascuno di essi ammette un rivolto<\/strong>, ossia il complemento all’ottava. Anche se con parole semplici diciamo che, dato un certo intervallo, il suo rivolto \u00e8 la “differenza” tra l’ottava ed esso stesso, tuttavia il rivolto non si pu\u00f2 calcolare con una sottrazione. Lo si ottiene invece con la divisione del rapporto di ottava 2\/1 per il rapporto dell’intervallo. Ad esempio il rivolto della terza maggiore, indicata con il rapporto 5\/4, \u00e8 ottenuto dalla divisione 2\/1 \u00f7 5\/4, ossia 2 \u00d7 4\/5 = 8\/5, che \u00e8 l’intervallo di sesta minore.<\/p>\n
Battimenti<\/h3>\n
L’orecchio umano \u00e8 sensibile alle frequenze comprese approssimativamente fra 20 e 15000 Hz. Inoltre la capacit\u00e0 di discriminare suoni aventi frequenze diverse \u00e8 limitata dalla cosiddetta soglia differenziale di frequenza<\/strong>. Per definire con precisione tale soglia si deve considerare non solo l’altezza ma anche l’intensit\u00e0 dei suoni messi a confronto. Bisogna poi distinguere il caso dell’intervallo melodico (i due suoni sono eseguiti in successione ravvicinata) da quello dell’intervallo armonico (i due suoni sono eseguiti contemporaneamente), giacch\u00e9 l’orecchio umano sembra riuscire a distinguere meglio due suoni in successione, purch\u00e9 la velocit\u00e0 con cui si alternano non sia troppo alta.<\/p>\n
Le moderne ricerche di psicoacustica conseguono risultati lavorando con suoni puri (ossia privi di armonici) e in assenza di riverberazione; nella pratica musicale le condizioni sono ben diverse, ma questi risultati sono comunque interessanti.<\/p>\n
Nel campo pi\u00f9 grave delle frequenze udibili (da 20 Hz a 200 Hz) la capacit\u00e0 discriminatoria dell’orecchio \u00e8 cattiva e l’incertezza \u00e8 dell’ordine di un semitono (per esempio un suono di 32,7 Hz che corrisponde al Do di 16′ \u00e8 mal distinguibile dal Si o dal Do#). Migliora a mano a mano che ci si avvicina al cosiddetto campo di corretta udibilit\u00e0 (800-3000 Hz) nel quale si mantiene costante. La capacit\u00e0 torna quindi a peggiorare un po’ verso l’acuto.<\/p>\n
Si nota poi che la capacit\u00e0 di discriminazione diminuisce quando i suoni sono deboli, e pi\u00f9 precisamente hanno intensit\u00e0 compresa fra la soglia dell’udibilit\u00e0 e 30 dB sopra di essa. Invece per valori superiori, la soglia differenziale di frequenza \u00e8 indipendente dalla loro intensit\u00e0.<\/p>\n
Quando le frequenze di due suoni eseguiti assieme sono sufficientemente lontane, essi sono percepiti come distinti. Se le frequenze sono vicine insorge il fenomeno dei battimenti<\/strong>: si percepisce allora un solo suono di altezza intermedia a quella dei componenti con una lenta fluttuazione dell’intensit\u00e0, come se il suono pulsasse con regolarit\u00e0.<\/p>\n
Nel caso sperimentale della sovrapposizione di due suoni puri con frequenze f<\/em>1<\/sub> e f<\/em>2<\/sub> si ottiene un’onda sinusoidale di frequenza f<\/em>0<\/sub> pari al valor medio delle due frequenze. Essendo f<\/em>1<\/sub> e f<\/em>2<\/sub> molto vicine, f<\/em>0<\/sub> sar\u00e0 circa uguale a f<\/em>1<\/sub>. Inoltre un’oscillazione molto pi\u00f9 lenta “modula” l’ampiezza con una frequenza di battimento<\/strong> f<\/em>b<\/em><\/sub> pari alla differenza delle due frequenze f<\/em>1<\/sub> e f<\/em>2<\/sub>. Poich\u00e9 f<\/em>1<\/sub> e f<\/em>2<\/sub> sono molto vicine, f<\/em>b<\/em><\/sub> sar\u00e0 molto minore delle due frequenze.<\/p>\n
I registri ondulanti, come Fiffaro, Voce Umana, Unda Maris, Voce Celeste, sono ottenuti “scordando” le canne in modo che l’unione con un altro registro generi i battimenti desiderati.<\/p>\n
I battimenti sussistono anche tra le diverse armoniche di due suoni complessi, anche se le fondamentali dei due suoni non hanno frequenze molto vicine: quando il battimento non \u00e8 percepibile in modo chiaro, vuoi per la rapidit\u00e0 delle fluttuazioni, vuoi per la loro complessit\u00e0 o per la debolezza degli armonici implicati, la combinazione dei due suoni risulta aspra e “stridente”. Analogamente ha un valore estetico anche il caso in cui le fluttuazioni siano lentissime, tanto da non potersi quantificare con precisione, perch\u00e9 ci\u00f2 pu\u00f2 conferire alla sonorit\u00e0 calore e pienezza.<\/p>\n
Quando il battimento \u00e8 presente in modo chiaro, tanto da poter essere “contato” o raffrontato con opportuni schemi ritmici, assume valore pragmatico nelle operazioni di accordatura. L’accordatore ascolta l’intervallo rapportandone i battimenti al metronomo, oppure confrontandoli con modelli ritmici noti (ad esempio quartine di semicrome o terzine di crome in tempo andante o allegro).<\/p>\n
Accordando una quinta giusta pura, Mib-Sib, rapporto 3 a 2, controlliamo che il terzo armonico di Mib si sovrapponga al secondo armonico di Sib senza battimenti. Quando i battimenti spariscono siamo certi di aver centrato l’obiettivo.<\/p>\n
Avvertiremo anche la presenza concomitante di un terzo suono<\/strong>, d’intensit\u00e0 pi\u00f9 debole e posto all’ottava inferiore rispetto al suono pi\u00f9 grave dell’intervallo stesso. Si tratta del suono risultante secondo il principio di combinazione, gi\u00e0 studiato da Giuseppe Tartini nel Settecento. Dall’interazione di due onde sonore si generano due nuovi suoni le cui frequenze sono pari alla somma e alla differenza delle frequenze dei suoni di partenza. Quindi l’ascoltatore sente quattro suoni: F1<\/sub>, F2<\/sub>, F1<\/sub> – F2<\/sub>, F1<\/sub> + F2<\/sub>, quest’ultimo per\u00f2 ha intensit\u00e0 molto debole.<\/p>\n
Nell’organo questo principio \u00e8 sfruttato nella costruzione dei cosiddetti “registri acustici” o “di combinazione”, unendo canne accordate alla distanza di quinta giusta pura, per ottenere un suono risultante all’ottava inferiore: 98.115 Hz (Sol 5.1\/3′) – 65.41 Hz (Do 8′) = 32.705 Hz (Do 16′)<\/p>\n
Il terzo suono<\/strong> \u00e8 anche molto importante nella buona riuscita dell’accordatura del Ripieno e del Cornetto o della Sesquialtera, dove in particolare il principio di combinazione agisce fra quinte pure e terze maggiori pure, contribuendo a rinforzare i suoni fondamentali delle piramidi armoniche.<\/p>\n
<\/p>\n
Il cent<\/h3>\n
Anzich\u00e9 operare sulle frequenze, si pu\u00f2 adottare un’unit\u00e0 di misura dell’ampiezza di un intervallo, che consente di semplificare i calcoli riducendoli di grado: il cent<\/em>.<\/p>\n
Nel 1885 l’inglese Alexander John Ellis<\/a> introdusse il cent<\/em> ricorrendo ai logaritmi delle frequenze. Il motivo di questa apparente complicazione sta nel fatto che le propriet\u00e0 dei logaritmi consentono di trasformare prodotti in somme, rapporti in differenze, elevamenti a potenza in moltiplicazioni e radicali in divisioni.<\/p>\n
Queste sono le propriet\u00e0 dei logaritmi:
![\"propriet\u00e0](\"http:\/\/www.nicolaferroni.com\/wp-content\/uploads\/2010\/12\/loga.png\" "\\"loga\\"")
<\/a>propriet\u00e0 dei logaritmi<\/figcaption><\/figure> dove a, x e y sono numeri reali positivi, con a diverso da 1.<\/p>\n Cos\u00ec se per esempio vogliamo calcolare l’intervallo fra due note di 300 Hz e 240Hz possiamo ricorrere alla frazione:<\/p>\n
300\/240 = 5\/4 = 0.09691<\/p>\n
oppure alla sottrazione, giacch\u00e9:<\/p>\n
log(300\/240) = log300 – log240 = 0.09691<\/p>\n
Poniamo che l’intervallo di 1 cent sia pari alla 1200a<\/sup> parte dell’ottava: \u00e8 sufficientemente piccolo da consentirci di misurare con precisione tutti gli intervalli che l’orecchio umano \u00e8 in grado di distinguere. Con questo accorgimento siamo in grado di rappresentare i dodici semitoni contenuti nell’ottava del temperamento equabile: se l’ottava \u00e8 pari a 1200 cents e i semitoni hanno tutti la medesima ampiezza, allora un semitono vale 100 cents, un tono vale 200 cents, una quinta vale 700 cents, e cos\u00ec via.<\/p>\n
Per “dividere” l’ottava in 1200 parti uguali dobbiamo estrarre la radice 1200a<\/sup> del rapporto 2 a 1, ottenendo 1.00057779. Questo \u00e8 il coefficiente per cui dobbiamo moltiplicare una data frequenza per ottenere il suono che si pone all’intervallo di 1 cent da essa. Ad esempio, prendiamo come riferimento il suono di frequenza 261.6 Hz (il Do dell’ottava centrale del pianoforte accordato con il sistema equabile). Per ottenere la frequenza del Do crescente di 1 cent si moltiplicher\u00e0:<\/p>\n
261.6 \u00d7 1.00057779 = 261.7511<\/p>\n
Altro esempio: il Sol del temperamento equabile sta una quinta “appena stretta” sopra il Do, per la precisione forma con esso un intervallo di 700 cents: la sua frequenza vale dunque:<\/p>\n
261.6 \u00d7 2700\/1200<\/sup> = 391.96 Hz<\/p>\n
I logaritmi sono facilmente ottenuti con una calcolatrice scientifica, oppure consultando le apposite tavole logaritmiche. Per\u00f2 queste sono solitamente calcolate in base 10, mentre Ellis usava logaritmi in base 2. Perci\u00f2 per esprimere in cents un qualsiasi rapporto tra due frequenze si deve ricorrere alla conversione di base, ossia:<\/p>\n
cents = (1200 \/ log10<\/sub>2) \u00d7 log10<\/sub>(F2<\/sub>\/F1<\/sub>) = 3986.313715 \u00d7 log10<\/sub>(F2<\/sub>\/F1<\/sub>)<\/p>\n
Quindi, ritornando all’esempio precedente, la misura in cents dell’intervallo fra le frequenze di 300 Hz e 240 Hz, ossia di due suoni in rapporto di 5 a 4, \u00e8 data da 3986.313715 \u00d7 0.09691 = 386.3137. Questa \u00e8 la misura in cents dell’intervallo di terza maggiore pura.<\/p>\n
Per maggior chiarezza, un intervallo I<\/strong> misurato in cents sta all’ottava (pari a 1200 cents) come il rapporto delle frequenze F2<\/sub>\/F1<\/sub> dell’intervallo sta al rapporto di ottava che vale 2. Espressa in termini matematici la proporzione \u00e8:<\/p>\n
I<\/strong> \/ 1200 = log(F2<\/sub>\/F1<\/sub>) \/ log2 da cui I<\/strong> = 3986.313715 \u00d7 log(F2<\/sub>\/F1<\/sub>)<\/p>\n
Cos\u00ec ancora si calcola che una quinta pura (rapporto 3 a 2) vale:<\/p>\n
3986.313715 \u00d7 (log3\/2) ossia 3986.313715 \u00d7 (log3 – log2)<\/p>\n
Quindi:<\/p>\n
3986.313715 \u00d7 0,176091 = 701,955 cents<\/p>\n
Un qualsiasi intervallo I<\/strong> misurato in cents si trova analogamente fra suoni le cui frequenze sono in questo rapporto:<\/p>\n
F2<\/sub>\/F1<\/sub> = 10(log2\/1200)\u00b7I<\/strong><\/sup> ossia F2<\/sub>\/F1<\/sub> = 100.0002508583297\u00b7I<\/strong><\/sup><\/p>\n
Infatti, dato l’intervallo di 386.3137 cents, calcoliamo che il rapporto fra i suoni \u00e8 pari a:<\/p>\n
100.0002508583297\u00d7386.3137<\/sup> = 100.09691<\/sup> = 1.25 ossia 5\/4<\/p>\n
<\/p>\n
La scala pitagorica
\ncomma pitagorico, schisma<\/em><\/h3>\nLa scala pitagorica \u00e8 concepita generando le note a partire dalla frequenza di base in successione di quinte pure (rapporto 3:2).<\/p>\n
Ovviamente \u00e8 possibile salire di quinta verso l’ordine dei diesis oppure scendere dello stesso intervallo verso l’ordine dei bemolli.<\/p>\n
\r\nDo1 Sol1 Re2 La2 Mi3 Si3 Fa#4 Do#5 Sol#5 Re#6 La#6 Mi#7 Si#7\r\n|-----|----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|\r\n| | | | | | | |\r\nDo1 Do2 Do3 Do4 Do5 Do6 Do7 Do8|\r\n|---------|---------|---------|---------|---------|---------|--------| |\r\n | |\r\n Comma\r\n pitagorico\r\n<\/pre>\n
\u00c8 evidente che la serie delle potenze di 2 e quella di 1.5 non si intersecano, infatti il giro delle quinte pure non pu\u00f2 chiudersi n\u00e9 dopo dodici intervalli n\u00e9 mai: procede all’infinito sia salendo che scendendo. Iniziando dal Do e salendo per quinte, si raggiunge il Si#, che non coincide con la nota di partenza, ma ne risulta pi\u00f9 acuto. Analogamente, iniziando dal Do e scendendo per quinte, si trova il Dob, che \u00e8 pi\u00f9 basso della nota iniziale. L’intervallo fra i due estremi del giro di dodici quinte \u00e8 detto comma pitagorico<\/strong> o comma ditonico<\/strong>. Esso \u00e8 pari alla “differenza” fra l’intervallo di 12 quinte e l’intervallo di 7 ottave, cio\u00e8<\/p>\n
(3\/2)12<\/sup> \u00f7 27<\/sup> = 531441\/524288 (1,0136)<\/p>\n
ossia (701.95 \u00d7 12) – (1200 \u00d7 7) = 8423.4 – 8400 = 23.4 \u00a2<\/p>\n
ed \u00e8 pi\u00f9 largo del comma sintonico<\/strong> di 1.95372 \u00a2.<\/p>\n
Questo nuovo intervallo \u00e8 detto schisma<\/strong>; approssimativamente 12 schismi fanno un comma pitagorico, 11 un comma sintonico.<\/p>\n
Se ad esempio costruiamo la scala diatonica pitagorica dal Do otteniamo questa successione:<\/p>\n
\r\n Herz Cents Rapporto Intervallo\r\nC 260.7407 0.00 1\/1\r\n } 9\/8 203.91 tono\r\nD 293.3333 203.91 9\/8 = 1.125\r\n } 9\/8 203.91 tono\r\nE 330.0000 407.82 81\/64 = 1.266\r\n } 256\/243 90.23 semitono\r\nF 347.6543 498.05 4\/3 = 1.333\r\n } 9\/8 203.91 tono\r\nG 391.1111 701.95 3\/2 = 1.5\r\n } 9\/8 203.91 tono\r\nA 440.0000 905.86 27\/16 = 1.687\r\n } 9\/8 203.91 tono\r\nB 495.0000 1109.77 243\/128 = 1.898\r\n } 256\/243 90.23 semitono\r\nc 521.4815 1200.00 2\/1\r\n<\/pre>\n
Volendo trovare il valore di diesis e bemolli, si continua nella successione di quinte nelle due direzioni:<\/p>\n
Si-Fa# => 243\/128 \u00d7 3\/2 = 729\/256<\/p>\n
Il semitono tra Fa e Fa# \u00e8 evidentemente diverso dal semitono posto fra Mi-Fa o Si-Do:<\/p>\n
729\/256 \u00d7 3\/8 = 2187\/2048 = 1,9678<\/p>\n
Si presentano infatti due diversi tipi di semitono:<\/p>\n
- \n
- semitono cromatico<\/dt>\n
- vale 113.68 \u00a2 ed \u00e8 altrimenti noto come apotome<\/strong><\/dd>\n
- semitono diatonico<\/dt>\n
- \u00e8 pari a 90.23 \u00a2 ottenuto con il rapporto 256\/243 = 1,0535; detto anche limma<\/strong>.<\/dd>\n<\/dl>\n
La distanza fra questi due semitoni \u00e8 113.7 – 90.2 = 23.5 \u00a2 il comma pitagorico.<\/p>\n
Da questo fatto consegue che ad esempio Mib e Re#, che si pongono agli estremi del medesimo ciclo di quinte, non coincidono e dunque la scala pitagorica non permette la circolazione completa delle tonalit\u00e0, non ammette cio\u00e8 l’enarmonia.<\/p>\n
Si noti anche un altro dato importante: i diesis sono pi\u00f9 acuti dei bemolli di un comma pitagorico: Do#=114 \u00a2 e Reb=90 \u00a2<\/p>\n
Inoltre, poich\u00e9 le quinte sono pure, le terze maggiori sono larghe d’un comma sintonico:<\/p>\n
407.8 – 386.3 = 21.5 \u00a2<\/p>\n
terza pitagorica = 9\/8 \u00d7 9\/8 = 81\/64<\/p>\n
Le terze minori sono strette dello stesso intervallo:<\/p>\n
315.6 – 294.1 = 21.5 \u00a2 (rapporto 96\/81).<\/p>\n
Questo sistema fu in vigore nell’Antichit\u00e0 e nel Medio Evo, sino a tutto il secolo XV, \u00e8 eccellente per la monodia e per la prima fase della polifonia, quando la terza maggiore non era considerata come consonanza (del resto la terza pitagorica ha un infimo indice di consonanza 0.023).<\/p>\n
Dovendo adattare il sistema pitagorico ai limiti della tastiera di 12 note \u00e8 necessario snaturarlo in una quinta, che non sar\u00e0 pi\u00f9 pura, ma stretta di un intero comma pitagorico.<\/p>\n
Uno degli esempi storicamente documentati di accordatura pitagorica applicata a uno strumento a tastiera \u00e8 quello proposto da Henri Arnaut De Zwolle<\/em> verso la met\u00e0 del XV secolo. Egli accorda la serie di quinte pure scendendo verso l’ordine dei bemolli e partendo dalla nota Si. La quinta stretta \u00e8 posta tra Si e Fa#, che per la verit\u00e0 \u00e8 calcolato come Solb (si potrebbe per\u00f2 sacrificare una qualunque altra quinta, in base alle esigenze musicali).<\/p>\n
Cos\u00ec facendo, egli ottiene terze maggiori decisamente troppo larghe e dissonanti, tuttavia le quattro contenute entro la quinta stretta (cio\u00e8 re-fa#, la-do#, mi-sol# e si-re#) sono invece quasi pure, perch\u00e9 risultano dal rapporto 8192\/6561, pari a 384.36 \u00a2. Nonostante la polifonia del Quattrocento facesse uso moderato della terza maggiore come intervallo armonico, si deve pur considerare l’importanza che hanno il modo dorico, il frigio e i loro plagali in quel repertorio. Esemplari sono i brani contenuti nel codice di Robertsbridge, in quello di Faenza, nel Buxheimer Orgelbuch e quelli di Adam Ileborg.<\/p>\n
Questo potrebbe essere il quadrante:<\/p>\n
\r\n Do\r\n Fa 0 | 0 Sol\r\n 0 | 0\r\n (La#)Sib | Re\r\n 0 | 0\r\n(Re#)Mib -------- | -------- La\r\n 0 | 0\r\n Sol#(Lab) | Mi\r\n 0 | 0\r\n Do#(Reb) 0 | -comma pitagorico Si\r\n Fa#(Solb)\r\n<\/pre>\n
Questa \u00e8 la tabella riassuntiva del sistema di accordatura pitagorica cromatica secondo Henri Arnaut De Zwolle con i battimenti delle terze maggiori e delle quinte:<\/p>\n
\n\n
\n \nNota<\/th>\n Frequenza<\/th>\n Rapporto<\/th>\n Cents<\/th>\n temp.
\n3\u00aa Mag.<\/th>\nbattimenti
\n3\u00aa Mag.<\/th>\ntemp.
\n5\u00aa<\/th>\nbattimenti
\n5\u00aa<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n\n DO<\/td>\n 260.7407<\/td>\n 1\/1<\/td>\n 0.000<\/td>\n 21.5063<\/td>\n 16.3516<\/td>\n 0.00<\/td>\n 0.00<\/td>\n<\/tr>\n \n DO#<\/td>\n 274.6898<\/td>\n 256\/243<\/td>\n 90.225<\/td>\n 21.5063<\/td>\n 17.2264<\/td>\n 0.00<\/td>\n 0.00<\/td>\n<\/tr>\n \n RE<\/td>\n 293.3333<\/td>\n 9\/8<\/td>\n 203.910<\/td>\n -1.9537<\/td>\n -1.6598<\/td>\n 0.00<\/td>\n 0.00<\/td>\n<\/tr>\n \n RE#<\/td>\n 309.0261<\/td>\n 32\/27<\/td>\n 294.135<\/td>\n 21.5063<\/td>\n 19.3797<\/td>\n 0.00<\/td>\n 0.00<\/td>\n<\/tr>\n \n MI<\/td>\n 330.0000<\/td>\n 81\/64<\/td>\n 407.820<\/td>\n -1.9537<\/td>\n -1.8673<\/td>\n 0.00<\/td>\n 0.00<\/td>\n<\/tr>\n \n FA<\/td>\n 347.6543<\/td>\n 4\/3<\/td>\n 498.045<\/td>\n 21.5063<\/td>\n 21.8021<\/td>\n 0.00<\/td>\n 0.00<\/td>\n<\/tr>\n \n FA#<\/td>\n 366.2531<\/td>\n 1024\/729<\/td>\n 588.270<\/td>\n 21.5063<\/td>\n 22.9685<\/td>\n 0.00<\/td>\n 0.00<\/td>\n<\/tr>\n \n SOL<\/td>\n 391.1111<\/td>\n 3\/2<\/td>\n 701.955<\/td>\n 21.5063<\/td>\n 24.5274<\/td>\n 0.00<\/td>\n 0.00<\/td>\n<\/tr>\n \n SOL#<\/td>\n 412.0348<\/td>\n 128\/81<\/td>\n 792.180<\/td>\n 21.5063<\/td>\n 25.8396<\/td>\n 0.00<\/td>\n 0.00<\/td>\n<\/tr>\n \n LA<\/td>\n 440.0000<\/td>\n 27\/16<\/td>\n 905.865<\/td>\n -1.9537<\/td>\n -2.4897<\/td>\n 0.00<\/td>\n 0.00<\/td>\n<\/tr>\n \n LA#<\/td>\n 463.5391<\/td>\n 16\/9<\/td>\n 996.090<\/td>\n 21.5063<\/td>\n 29.0695<\/td>\n 0.00<\/td>\n 0.00<\/td>\n<\/tr>\n \n SI<\/td>\n 495.0000<\/td>\n 243\/128<\/td>\n 1109.775<\/td>\n -1.9537<\/td>\n -2.8010<\/td>\n -23.46<\/td>\n -20.0554<\/td>\n<\/tr>\n \n DO<\/td>\n 521.4815<\/td>\n 2\/1<\/td>\n 1200.000<\/td>\n 21.5063<\/td>\n 32.7032<\/td>\n 0.00<\/td>\n 0.00<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n Si osserva che nel sistema proposto il tono intero di 203.91 \u00a2 pari al rapporto 9\/8 \u00e8 presente fra F#-G#-A#[Bb]-C-D-E e fra C#-D#[Mib]-F-G-A-B, ed \u00e8 composto sommando i semitoni nell’ordine limma + apotome oppure apotome + limma; inoltre esistono due toni interi di 180.45 \u00a2 ottenuti dalla somma di due limma e sono tra le note E-F# e B-C#<\/p>\n
<\/p>\n
La scala naturale
\nscala diatonica di giusta intonazione o zarliniana<\/em><\/h3>\nI suoni armonici che accompagnano il suono fondamentale emesso da una canna possiedono frequenza multipla secondo i numeri interi: il fondamentale ha frequenza 1, il secondo armonico ha frequenza doppia, il terzo tripla e cos\u00ec via.<\/p>\n
Il secondo armonico (rapporto 2:1) forma l’intervallo di ottava<\/strong>, cos\u00ec chiamato perch\u00e9 segue alle sette note che formano la scala<\/strong> nella musica occidentale.<\/p>\n
Dimezziamo la frequenza del terzo armonico (rapporto 3:1) per ottenere un suono vicino al fondamentale, entro l’ambito dell’ottava: la quinta giusta 3:2. Il quarto armonico (rapporto 4:1) si riduce con lo stesso procedimento ottenendo l’ottava: 4\/2=2:1. Il quinto armonico (rapporto 5:1) sar\u00e0 dimezzato per due volte, cos\u00ec da rientrare nell’ambito dell’ottava come terza maggiore 5:4.<\/p>\n
L’intervallo naturale suona quindi puro, senza battimenti, ed \u00e8 tanto pi\u00f9 “piacevole” all’ascolto quanto pi\u00f9 \u00e8 “semplice” il rapporto fra le frequenze dei suoni.<\/p>\n
Iniziando da Do, questo procedimento pu\u00f2 generare le seguenti note: DO (2\/1) – RE (9\/8) – MI (5\/4) – SOL (3\/2) – SI (15\/8). Mancano il FA e il LA.<\/p>\n
Nella serie degli armonici compare al 21o<\/sup> posto un suono che riportato nell’ambito dell’ottava \u00e8 riconoscibile come un FA calante (21\/16) che non si usa. Similmente un La crescente compare al 27o<\/sup> posto, ma non si usa.<\/p>\n
Nella serie compaiono i due accordi DO-MI-SOL e SOL-SI-RE: se avessimo FA e LA, la successione SOL-SI-DO-RE-MI potrebbe essere trasposta una quinta sotto divenendo DO-MI-FA<\/em>-SOL-LA<\/em>.<\/p>\n
Quindi i suoni FA e LA sono ottenuti con una “trasposizione” del procedimento descritto, una sorta di modulazione<\/em> dal sistema del suono d’origine DO al sistema di FA. Considerando il DO come terzo armonico di FA si ottiene per quest’ultimo il rapporto 4\/3.
\nIl LA \u00e8 terza maggiore (5\/4) sopra il FA (4\/3) cio\u00e8 5\/4 \u00d7 4\/3 = 5\/3.<\/p>\nQuesto schema ricorda la simile disposizione degli esacordi molle, naturale e duro della solmisazione, e tuttavia do-re-mi<\/em> (tono grande – tono piccolo) equivale a fa-sol-la<\/em> ma non a sol-la-si<\/em> (tono piccolo – tono grande):<\/p>\n
\r\nFa - La - Do - Fa\r\n Do - Mi - Sol - Do\r\n Sol - Si - Re - Sol\r\n<\/pre>\n
Riassumendo quindi la teoria zarliniana, la gamma si costruisce suddividendo armonicamente prima l’intervallo di ottava e poi i due intervalli che se ne ottengono, cio\u00e8 quinta e quarta:<\/p>\n
\r\n 2:1 DO-do\r\n _____|______ _________|__________\r\n | | | |\r\n 3:2 4:3 DO-SOL SOL-do\r\n __|__ ____|_____ ___|___ _______|_______\r\n | | | | | | | | | |\r\n5:4 6:5 10:9 9:8 16:15 DO-MI MI-SOL SOL-LA LA-SI SI-do\r\n<\/pre>\n
La scala \u00e8 cos\u00ec formata:<\/p>\n
\r\n Herz Cents Rapporto Intervallo\r\nC 264 0.00 1\/1\r\n } 9\/8 203.91 tono grande\r\nD 297 203.91 9\/8 = 1.125\r\n } 10\/9 182.40 tono piccolo\r\nE 330 386.31 5\/4 = 1.25\r\n } 16\/15 111.74 semitono\r\nF 352 498.05 4\/3 = 1.333\r\n } 9\/8 203.90 tono grande\r\nG 396 701.95 3\/2 = 1.5\r\n } 10\/9 182.41 tono piccolo\r\nA 440 884.36 5\/3 = 1.666\r\n } 9\/8 203.91 tono grande\r\nB 495 1088.27 15\/8 = 1.875\r\n } 16\/15 111.73 semitono\r\nC 528 1200.00 2\/1\r\n<\/pre>\n
Gli intervalli contenuti nell’ottava della scala naturale di Do sono:<\/p>\n
\r\n DO RE MI FA SOL LA SI do\r\nDO 1:1 9:8 5:4 4:3 3:2 5:3 15:8 2:1\r\nRE 10:9 32:27 4:3 40:27 5:3 16:9\r\nMI 16:15 6:5 4:3 3:2 8:5\r\nFA 9:8 5:4 45:32 3:2\r\nSOL 10:9 5:4 4:3\r\nLA 9:8 6:5\r\nSI 16:15\r\n<\/pre>\n
Analizzando la scala diatonica “naturale” di Do notiamo che:<\/p>\n
- \n
- la terza maggiore 5:4 (386,3137 \u00a2) \u00e8 fra le note Do-Mi, Fa-La, Sol-Si;<\/li>\n
- la terza minore 6:5 (315,641 \u00a2) tra Mi-Sol, La-Do, Si-Re;<\/li>\n
- la quinta giusta 3:2 (701,955 \u00a2) fra Do-Sol, Mi-Si, Fa-Do, Sol-Re, La-Mi;<\/li>\n
- la quarta giusta 4:3 (498,045 \u00a2) fra Do-Fa, Re-Sol, Mi-La, Sol-Do, Si-Mi;<\/li>\n
- la quinta Re-La vale 10\/9 \u00d7 16\/15 \u00d7 9\/8 \u00d7 10\/9 = 40:27 pari a 680,4487 \u00a2: \u00e8 molto stretta e non \u00e8 tollerata dall’orecchio;<\/li>\n
- la terza minore Re-Fa (32\/27 = 1.185) \u00e8 stretta e vale 294 \u00a2;<\/li>\n
- la quarta eccedente Fa-Si (45:32) o tritono diatonico \u00e8 il noto diabolus in musica<\/em> e vale 590 \u00a2;<\/li>\n
- esistono due tipi di tono (e di conseguenza anche due tipi di settime minori): grande<\/strong> (9:8) fra Do-Re, Fa-Sol, La-Si, pari a 204 \u00a2 e piccolo<\/strong> (10:9) fra Re-Mi e Sol-La pari a 182 \u00a2;<\/li>\n
- il semitono diatonico vale 16:15 fra Mi-Fa e Si-do, pari a 112 \u00a2.<\/li>\n<\/ol>\n
La scala naturale \u00e8 ottenuta sulla base dei cosiddetti “rapporti semplici”, ossia gli intervalli che producono il maggior effetto di consonanza. Questi intervalli favoriscono la sovrapposizione degli ipertoni (o armoniche), dando cos\u00ec alti indici di consonanza. Ad esempio nella terza maggiore pura Do-Mi si trovano sovrapposte la 5\u00aa, 10\u00aa, 15\u00aa, 20\u00aa\u2026 armonica del Do con la 4\u00aa, 8\u00aa, 12\u00aa, 18\u00aa\u2026 del Mi. Dato un rapporto di frequenze m\/n l’indice di consonanza<\/strong> si calcola cos\u00ec: E = (m+n)\/m\u00b7n. Pi\u00f9 l’indice \u00e8 alto, pi\u00f9 elevato \u00e8 il grado di consonanza. Nella terza maggiore pura (5:4) l’indice vale (5+4)\/(5\u00d74)=9\/20=0,45. Nella scala naturale abbiamo i seguenti intervalli, in ordine di consonanza:<\/p>\n
\r\n Rapporto Indice\r\n di frequenze di consonanza\r\nUnisono C-C 1:1 2\/1 = 2.00\r\nOttava C-C' 2:1 3\/2 = 1.50\r\nQuinta perfetta C-G 3:2 5\/6 = 0.83\r\nQuarta perfetta C-F 4:3 7\/12 = 0.58\r\nSesta maggiore C-A 5:3 8\/15 = 0.53\r\nTerza maggiore C-E 5:4 9\/20 = 0.45\r\nTerza minore E-G 6:5 11\/30 = 0.37\r\nSesta minore A-F' 8:5 13\/40 = 0.32\r\nSettima minore E-D' 9:5 14\/45 = 0.31\r\nTono grande C-D 9:8 17\/72 = 0.24\r\nTono piccolo D-E 10:9 19\/90 = 0.21\r\nSettima maggiore C-B 15:8 23\/120 = 0.19\r\nSettima minore grave D-C' 16:9 25\/144 = 0.17\r\nSemitono E-F 16:15 31\/240 = 0.13\r\n<\/pre>\n
Problema cruciale \u00e8 l’impossibilit\u00e0 di far coesistere due degli intevalli fondamentali: nella scala diatonica naturale di Do se si accorda pura la terza minore La-Do, come deve essere per il rapporto 6:5, la quinta Re-La non sar\u00e0 mai pura, bens\u00ec risulter\u00e0 stretta di un intervallo detto comma sintonico<\/strong>. L’ampiezza del comma si pu\u00f2 calcolare sottraendo tale quinta stretta (40:27) dalla quinta pura (3:2), cio\u00e8<\/p>\n
40\/27 \u00f7 3\/2 = 80\/81 (0,988) ossia 701.95 – 680.45 = 21.5 \u00a2.<\/p>\n
L’uso della scala diatonica naturale \u00e8 pressoch\u00e8 limitato alla monodia.<\/p>\n
La scala cromatica di dodici note nel sistema naturale non \u00e8 usata negli strumenti ad accordatura fissa: la presenza di due diversi tipi di tono (9:8 e 10:9) comporta l’impossibilit\u00e0 di modulazioni a tonalit\u00e0 differenti: per esempio, la quinta re-la in Do maggiore (II-VI grado) vale 40:27, e in Re maggiore (I-V grado) dovrebbe valere 3:2.<\/p>\n
Nonostante i gravi inconvenienti illustrati, negli strumenti a tastiera l’ampliamento della scala con i suoni cromatici comporta l’introduzione dei cosiddetti tasti spezzati<\/em> per rendere disponbibili sia i bemolli che i diesis. Ad esempio il Sol# \u00e8 calcolato come terza maggiore di Mi, per rispettare il criterio della massima consonanza e vale 5\/4 \u00d7 5\/4 = 25:16. Il Lab per\u00f2, calcolato con il medesimo criterio come sesta minore di Do, \u00e8 molto pi\u00f9 acuto del Sol#, e non ammette enarmonia, giacch\u00e9 vale 2 \u00d7 4\/5 = 8:5. L’intervallo tra le due note \u00e8 di 41 cent, noto come comma del lupo<\/strong> o comma enarmonico<\/strong>.<\/p>\n
Dunque, se si accordano tre terze maggiori pure ascendenti o discendenti, non si ritorna alla nota iniziale: l’enarmonia \u00e8 impossibile. Do-Mi, Mi-Sol#, Sol#-Si# oppure Si-Sol, Sol-Mib, Mib-Dob, non chiudono un giro di terze maggiori: esso procede all’infinito sia verso l’acuto che verso il grave. Il comma enarmonico \u00e8 la differenza fra la somma di tre terze maggiori e l’ottava, ed \u00e8 il pi\u00f9 largo fra i tre commi:<\/p>\n
5\/4\u00d75\/4\u00d75\/4=125\/64; 2\u00f7125\/64=128:125 (1,024)<\/p>\n
\u00e8 la differenza fra Do e Si# nel ciclo di terze maggiori.<\/p>\n
<\/p>\n
Gli intervalli<\/h3>\n
Prima di addentrarmi nel complesso e variegato mondo dei sistemi di temperamento, credo sia utile passare in rassegna gli intervalli incontrati sino ad ora, derivati dalle due diverse suddivisioni dell’ottava: la scala pitagorica e quella naturale, nei due generi diatonico e cromatico.<\/p>\n
La scala diatonica prevede sette gradi, e stabilisce fra essi precise relazioni melodiche e armoniche: nei moti fra i gradi si creano delle direzioni privilegiate o prevalenti e prendono forma quelle strutture che la teoria musicale ha classificato come modi<\/em> e toni<\/em>.<\/p>\n
La scala cromatica \u00e8 in parte nata dalla necessit\u00e0 di trasporre le melodie diatoniche (soprattutto per adattarne l’ambito all’estensione vocale) e in parte \u00e8 l’esito dell’ampliamento o trasformazione del sistema modale e tonale per esigenze espressive (introduzione della sensibile, e dei gradi alterati).<\/p>\n
Nel corso dei secoli la tastiera di organo e clavicembalo si \u00e8 normalmente suddivisa in ottave di dodici note, con sette tasti diatonici e cinque cromatici: ci\u00f2 ha comportato una forzatura nel ciclo delle quinte, perch\u00e9 per chiuderlo una di esse deve essere stretta di un intero comma pitagorico<\/strong>.
\nQuattro quinte pure in successione generano una terza maggiore pitagorica pi\u00f9 larga di un comma sintonico<\/strong> rispetto all’intervallo naturale. Nel calcolo seguente la terza pitagorica \u00e8 rappresentata perci\u00f2 come somma di terza maggiore pura + comma sintonico, ossia 386.3 + 21.5 = 407.8 \u00a2. Proseguendo nel circolo, dopo due terze maggiori pitagoriche, ossia otto quinte pure generate in successione, la terza maggiore che manca alla chiusura deve essere stretta di uno schisma<\/strong> (1.9 \u00a2). Da questa osservazione scaturisce pure che il comma enarmonico<\/strong> vale due commi sintonici meno lo schisma (21.45 + 21.45 – 1.9 = 41 \u00a2).<\/p>\n\r\n(386.3 + 21.5) + (386.3 + 21.5) + 386.3 - 1.9 = 1200 \u00a2\r\n<\/pre>\n
L’enarmonia non fu possibile sino all’introduzione dei sistemi di temperamento circolanti<\/em>. In casi sporadici, tastiere con pi\u00f9 tasti cromatici o addirittura con pi\u00f9 ordini di tasti erano richieste da specialisti, mossi dall’esigenza di usare tonalit\u00e0 altrimenti non disponibili.<\/p>\n
Nel sistema pitagorico cromatico i diesis sono pi\u00f9 acuti dei bemolli (C# \u00e8 sopra Db, E# sopra F, ecc.), mentre nel sistema naturale accade esattamente l’opposto, ossia i diesis sono pi\u00f9 gravi dei bemolli.<\/p>\n
Nel sistema pitagorico cromatico i semitoni sono di due tipi: diatonico o limma, largo 90 \u00a2 (256:243) e cromatico o apotome, largo 114 \u00a2 (2187:2048). Inoltre, come si \u00e8 gi\u00e0 detto, in corrispondenza della quinta stretta, si generano anche due toni larghi 180.45 \u00a2 e quattro terze maggiori quasi pure.<\/p>\n
Anche la scala naturale cromatica, non praticata negli strumenti ad accordatura fissa, possiede intervalli di semitono diversi fra loro: 41 62.5 70.7 111.7 \u00a2. Infatti nel sistema naturale quando si amplia la scala all’ordine completo dei diesis e dei bemolli applicando il criterio delle migliori consonanze, si ottiene un’ottava composta da 17 note: sette tasti diatonici e dieci cromatici spezzati in cinque diesis e cinque bemolli (si omettono Mi#, Fab, Si#, Dob).<\/p>\n
Si formano cos\u00ec due distinte successioni dei semitoni che suddividono ciascun tono:<\/p>\n
- \n
- tono grande (9:8 o 203.9 \u00a2):<\/dt>\n
- 70.7 – 62.5 – 70.7 \u00a2
\nper esempio il tono Do-Re \u00e8 diviso in Do_Do# = 70.7, Do#_Reb = 62.5, Reb_Re 70.7<\/dd>\n - tono piccolo (10:9 o 182.4 \u00a2)<\/dt>\n
- 70.7 – 41 – 70.7 \u00a2
\nper esempio il tono Re-Mi \u00e8 diviso in Re_Re# = 70.7, Re#_Mib = 41, Mib_Mi = 70.7<\/dd>\n<\/dl>\nInoltre sono presenti altri intervalli di seconda, che esulano dallo schema descritto. Con Scala<\/a> si pu\u00f2 condurre lo studio teorico su una versione della scala naturale con 12 note<\/a> o 17 note<\/a>.<\/p>\n
La principale conseguenza di queste ineguaglianze in entrambi i sistemi si avverte nel diverso carattere che assume una linea melodica o una concatenazione accordale a seguito di una trasposizione.<\/p>\n
In questa tabella \u00e8 mostrata la composizione teorica delle due scale cromatiche pitagorica e naturale (le misure in cent sono arrotondate all’unit\u00e0).<\/p>\n
\r\n Scala Scala\r\nNota pitagorica naturale\r\n Rapporto Cent Rapporto Cent\r\n C 1.000 0 1.000 0\r\n C# 1.068 114 1.042 71\r\n Db 1.054 90 1.080 133\r\n D 1.125 204 1.125 204\r\n D# 1.201 318 1.172 275\r\n Eb 1.185 294 1.200 316\r\n E 1.266 408 1.250 386\r\n Fb 1.249 384 1.280 427\r\n E# 1.352 522 1.302 457\r\n F 1.333 498 1.333 498\r\n F# 1.424 612 1.389 569\r\n Gb 1.405 588 1.440 631\r\n G 1.500 702 1.500 702\r\n G# 1.602 816 1.563 773\r\n Ab 1.580 792 1.600 814\r\n A 1.687 906 1.667 884\r\n A# 1.802 1020 1.736 955\r\n Bb 1.778 996 1.800 1018\r\n B 1.898 1110 1.875 1088\r\n Cb 1.873 1086 1.920 1129\r\n B# 2.027 1224 1.953 1159\r\n C 2.000 1200 2.000 1200\r\n<\/pre>\n
<\/p>\n
Il temperamento<\/h3>\n
L’accordatura per quinte pure (scala pitagorica) e quella di giusta intonazione costruita seguendo il criterio della maggiore consonanza (scala naturale, o tolemaica, oppure zarliniana) sono i pi\u00f9 antichi sistemi di suddivisione dell’ottava, dapprima secondo il genere diatonico e quindi secondo quello cromatico. Ciascuno di essi presenta peculiarit\u00e0 rilevanti nell’esecuzione del repertorio monodico e polifonico dal Medioevo sino al Quattrocento.<\/p>\n
Alcune dispute fra filosofi e le prese di posizione della Chiesa nei confronti della musica sacra potevano frenare la ricerca ma, occupandosi prevalentemente di aspetti teorici, non incidevano drasticamente nella cosiddetta musica pratica<\/em>. Maestri di cappella e musicisti dovevano cercare la migliore soluzione ai problemi di trasposizione e modulazione, soprattutto dall’epoca in cui la musica polifonica cominci\u00f2 a coinvolgere massicciamente anche gli strumenti, in particolare quelli ad intonazione fissa.<\/p>\n
Le resistenze avevano una solida ragion d’essere, giacch\u00e9 si trattava di compromettere la perfezione degli intervalli che fondano il sistema modale (unisono, ottava, quarta e quinta). Tuttavia nella polifonia si erano gi\u00e0 manifestate numerose istanze a favore del riconoscimento della terza maggiore pura come consonanza (ad esempio nelle clausole contenenti la sensibile<\/em> posta a distanza di semitono inferiore dalla finalis<\/em> oppure la terza piccarda<\/em> nelle cadenze pi\u00f9 rilevanti).<\/p>\n
Trattandosi di un campo di ricerca con valenza non solo teorica ma anche pratica, i nuovi sistemi cromatici prevedevano l’ampliamento della scala con l’ordine dei diesis e dei bemolli pi\u00f9 o meno completo: ci\u00f2 comportava negli strumenti a intonazione fissa la spezzatura dei tasti neri o addirittura la creazione di nuove tastiere.<\/p>\n
L’aspetto pratico quotidiano dell’accordatura dei dodici semitoni nella stragrande maggioranza delle tastiere per\u00f2 si risolveva con la ripartizione del comma pitagorico oppure di quello sintonico (trascurato o meno lo schisma). Il modello teorico, la scala pitagorica o quella naturale, forniscono la base. Introducendo opportuni aggiustamenti poi, si frammenta e distribuisce il comma tra alcune quinte.<\/p>\n
Il meccanismo teorico di suddivisione del comma implica lunghi calcoli con le frazioni, mentre il metodo pratico di accordatura si basa sull’ascolto dei battimenti degli intervalli temperati e sulla purezza degli altri.<\/p>\n
Se vogliamo una terza maggiore pura siamo costretti a stringere le quattro quinte che l’abbracciano, oppure solo alcune di esse, non tutte. Lo sforzo \u00e8 quindi concentrato nell’accurata distribuzione dei battimenti. Le quattro quinte temperate sono disposte in due coppie distanti una quarta e quindi coprono un’estensione superiore all’ottava, ad esempio: Do1<\/sub>-Sol1<\/sub>, Re1<\/sub>-La1<\/sub> e Sol1<\/sub>-Re2<\/sub>, La1<\/sub>-Mi2<\/sub>. Ci\u00f2 significa che i battimenti della seconda coppia pi\u00f9 acuta saranno un po’ pi\u00f9 veloci rispetto a quelli della prima.<\/p>\n
La suddivisione del comma sintonico in quattro parti uguali \u00e8 quindi naturalmente connessa al fatto che sono quattro le quinte formanti la terza maggiore che si desidera pura.<\/p>\n
Dopo le prime quattro quinte strette avremo gi\u00e0 quasi assorbito il comma pitagorico (ne rimane una trascurabile frazione, lo schisma). Questo vuol dire che potremmo gi\u00e0 chiudere il circolo senza temperare le rimanenti quinte. Se invece vogliamo che tutte le terze maggiori disponibili in una tastiera siano pure, sar\u00e0 necessario stringere le rimanenti quinte, fermandosi per\u00f2 all’ultima che ovviamente non sar\u00e0 modificabile perch\u00e9 i suoi estremi saranno gi\u00e0 determinati.<\/p>\n
In quest’ultimo intervallo si accumulano 7\/4 di comma sintonico meno lo schisma. Si presenta come una sesta diminuita, per semplicit\u00e0 comunemente detta quinta del lupo<\/strong>.<\/p>\n
Il moltiplicarsi dei sistemi fu inevitabile: ogni soluzione presenta peculiarit\u00e0, pregi e difetti. Una volta che la terza maggiore pura \u00e8 assunta come modello di consonanza, la terza pitagorica (ottenuta sovrapponendo quattro quinte pure come accade nella scala pitagorica, appunto) risulta fortemente dissonante. Inoltre, se delle quattro quinte una \u00e8 larga, allora avremo due terze maggiori molto dissonanti (pi\u00f9 della terza pitagorica).<\/p>\n
Buona parte della riuscita di un sistema d’accordatura sta nella posizione in cui vengono confinati gli intervalli dissonanti nella tavolozza delle tonalit\u00e0.<\/p>\n
- \n
- I sistemi regolari<\/dt>\n
- prevedono la divisione del comma in parti uguali uniformemente distribuite fra le undici quinte temperabili: la dodicesima chiude il giro e risulta determinata in conseguenza.<\/dd>\n
- I sistemi irregolari<\/dt>\n
- non temperano le quinte in modo omogeneo, bens\u00ec secondo opportune scelte, al fine di privilegiare certe tonalit\u00e0 a discapito di altre<\/dd>\n
- I sistemi ciclici<\/dt>\n
- prevedono la possibilit\u00e0 di circolare fra tutte le tonalit\u00e0 disponibili, giacch\u00e9 il giro delle quinte si considera virtualmente chiuso per enarmonia<\/dd>\n
- sistemi non ciclici<\/dt>\n
- non ammettono l’enarmonia e quindi solo alcune tonalit\u00e0 sono praticabili<\/dd>\n<\/dl>\n
Si possono cos\u00ec elencare velocemente alcuni dei sistemi teorici e storici:<\/p>\n
- \n
- Il sistema equabile moderno \u00e8 regolare e permette la circolazione fra dodici quinte poich\u00e8 l’ottava \u00e8 divisa in 12 parti uguali, e quindi il giro delle quinte si chiude temperando il comma pitagorico di 1\/12 per ciascun passo;<\/li>\n
- il temperamento equabile con ciclo 19 chiude il giro delle quinte dopo 19 passi (ottava divisa in 19 semitoni, con Do = Si##), e presenta terze minori quasi pure;<\/li>\n
- l’equabile con ciclo 31 ha terze maggiori quasi pure e si chiude dopo 31 quinte scarse di quasi 1\/4 di comma sintonico (Do = A## ##).<\/li>\n
- il tono medio a 1\/4 di comma sintonico \u00e8 regolare, ma non ciclico.<\/li>\n
- i vari sistemi di cui discuteremo ideati da Kirnberger, da Werkmeister e da Vallotti sono irregolari ma ammettono la circolazione fra tutte le tonalit\u00e0.<\/li>\n<\/ul>\n
Il temperamento mesotonico regolare prende il nome dal fatto che azzera la differenza fra tono grande e tono piccolo presente nella scala naturale: l’intervallo di tono divide esattamente a met\u00e0 la terza maggiore. Le quinte sono temperate tutte della stessa frazione di comma sintonico. Il sistema non permette la circolazione:<\/p>\n
- \n
- il tono medio regolare riduce le quinte di 1\/4 di comma sintonico, e presenta terze maggiori pure; \u00e8 perci\u00f2 analogo all’equabile con ciclo 31, limitato per\u00f2 a sole dodici quinte;<\/li>\n
- il mesotonico a 1\/3 di comma ha terze minori pure;<\/li>\n
- il mesotonico a 2\/7 di comma d\u00e0 terze maggiori e minori ugualmente temperate.<\/li>\n<\/ul>\n
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Tabelle e quadranti<\/h3>\n
Per illustrare i vari sistemi si useranno tabelle indicanti per ciascuna nota della scala cromatica il grado di temperamento delle quinte e delle terze maggiori, che viene sempre espresso in centesimi di comma sintonico (se viene temperato il comma pitagorico sar\u00e0 specificato espressamente). Valori positivi indicano che la nota \u00e8 crescente rispetto al valore “naturale” dell’intervallo puro, mentre valori negativi segnalano accordatura calante. Il valore 0 significa che l’intervallo \u00e8 puro. Il valore 1 rappresenta l’intero comma sintonico. La tabella d\u00e0 la corrispondenza fra il valore in centesimi di comma sintonico e la frazione corrispondente.<\/p>\n
\r\nFrazione Valori decimali\r\n0 (quinta pura) = 0\r\n1\/3 = 0,333\r\n2\/7 = 0,285\r\n5\/18 = 0,277\r\n1\/4 = 0,250\r\n2\/9 = 0,222\r\n1\/5 = 0,200\r\n1\/5 di comma = 0,220 di comma\r\n pitagorico pitagorico\r\n3\/14 = 0,214\r\n3\/17 = 0,176\r\n1\/6 = 0,166\r\n1\/7 = 0,142\r\n1\/8 = 0,125\r\n1\/9 = 0,111\r\n1\/10 = 0,100\r\n1\/12 di comma = 0,091 di comma\r\n pitagorico pitagorico\r\n<\/pre>\n
Un altro importante ausilio \u00e8 la tabella dei battimenti, con cui si riesce a controllare il temperamento di terze maggiori e quinte. Servono per\u00f2 una certa esperienza e sensibilit\u00e0.<\/p>\n
Altro ausilio per illustrare la struttura di un temperamento \u00e8 il quadrante del giro delle quinte con i valori indicanti il grado di purezza degli intervalli in frazioni di comma sintonico ed eventuali linee di collegamento per altri intervalli significativi.<\/p>\n
- esistono due tipi di tono (e di conseguenza anche due tipi di settime minori): grande<\/strong> (9:8) fra Do-Re, Fa-Sol, La-Si, pari a 204 \u00a2 e piccolo<\/strong> (10:9) fra Re-Mi e Sol-La pari a 182 \u00a2;<\/li>\n
- Suddivisione di un intervallo in pi\u00f9 parti uguali => estrazione di radice della frazione:
- mediante la frequenza<\/strong>, misurata in Herz o cicli\/secondo; per esempio il La3<\/sub> ha una frequenza di 440 Hz.<\/li>\n<\/ul>\n