{"id":582,"date":"2015-02-21T17:35:07","date_gmt":"2015-02-21T16:35:07","guid":{"rendered":"http:\/\/www.nuovamusicaantica.altervista.org\/?p=582"},"modified":"2016-12-28T20:48:35","modified_gmt":"2016-12-28T19:48:35","slug":"582","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/2015\/02\/21\/582\/","title":{"rendered":"Divide et impera"},"content":{"rendered":"<p><iframe loading=\"lazy\" width=\"420\" height=\"315\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/mC_DRS4dO08\" frameborder=\"0\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<p>La comprensione del meccanismo con cui si forma la scala diatonica naturale \u00e8 premessa necessaria per orientarsi nel vasto campo dei sistemi di temperamento mesotonici.<br \/>Analizzando la composizione dello spettro acustico, troviamo in successione suoni armonici, che hanno frequenze multiple della nota fondamentale secondo i numeri interi.<br \/>Consideriamo solo i multipli che non siano riverberazioni all&#8217;ottava di note gi\u00e0 comparse nello spettro. Nell&#8217;ambito di un&#8217;ottava sopra la fondamentale troviamo solo l&#8217;armonico di quinta, due ottave sopra compaiono quelli di terza maggiore e di settima minore, tre ottave sopra sono presenti gli armonici di seconda maggiore e settima maggiore. In aggiunta agli intervalli gi\u00e0 rilevati si individuano altri suoni in rapporto con la fondamentale secondo i numeri 11 e 13.<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Harmonic_Series.png#mediaviewer\/File:Harmonic_Series.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" alt=\"Harmonic Series.png\" src=\"http:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/e\/e6\/Harmonic_Series.png\" height=\"87\" width=\"640\"><\/a><br \/>&#8220;<a href=\"http:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Harmonic_Series.png#mediaviewer\/File:Harmonic_Series.png\">Harmonic Series<\/a>&#8221; by <a href=\"\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/User:MusicMaker5376\" class=\"extiw\" title=\"en:User:MusicMaker5376\">User:MusicMaker5376<\/a> at English Wikipedia. &#8211; <span class=\"int-own-work\">Own work<\/span> (Original caption: \u201c<span class=\"description\" lang=\"\">Self-made on Sibelius.<\/span>\u201d). Licensed under <a title=\"Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0\" href=\"http:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by-sa\/3.0\/\">CC BY-SA 3.0<\/a> via <a href=\"\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/\">Wikimedia Commons<\/a>.<\/p>\n<p>Se per praticit\u00e0 assumiamo la nota DO come riferimento, otteniamo:<\/p>\n<ul>\n<li>Fondamentale 1:1 Do<\/li>\n<li>Ottava 2:1 do<\/li>\n<li>Duodecima 3:1 ridotta a Quinta 3:2 Sol<\/li>\n<li>[Decimaquinta 4:1]<\/li>\n<li>Decimasettima 5:1 ridotta a Terza maggiore 5:4 Mi<\/li>\n<li>[Decimanona 6:1]<\/li>\n<li>Vigesimaprima 7:1 ridotta a Settima minore 7:4 (Si&#x266D;)<\/li>\n<li>[Vigesimaseconda 8:1]<\/li>\n<li>Vigesimaterza 9:1 ridotta a Seconda maggiore 9:8 Re<\/li>\n<li>&#8230;<\/li>\n<li>Vigesimaottava 15:1 ridotta a Settima maggiore 15:8 Si<\/li>\n<li>&#8230;<\/li>\n<\/ul>\n<p>La successione \u00e8 infinita, e produce nuove note con la cadenza dei numeri dispari: fra gli interi 2 e 4 \u00e8 il 3, fra gli interi 4 e 8 sono il 5 e il 7, fra 8 e 16 sono 9, 11, 13, 15; tuttavia per costruire la scala diatonica di intonazione naturale ci fermeremo qui. Rimando all&#8217;utile voce <a href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Harmonic_series_%28music%29\" target=\"_blank\">harmonic series<\/a> di Wikipedia, da cui riporto la seguente tabella.<\/p>\n<table border=\"1\">\n<tbody>\n<tr>\n<th colspan=\"5\">Armonico<\/th>\n<th>Intervallo<\/th>\n<th>Nota<\/th>\n<th>Scostamento da ET in &#162;<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>1<\/td>\n<td>2<\/td>\n<td>4<\/td>\n<td>8<\/td>\n<td>16<\/td>\n<td>unisono (ottava)<\/td>\n<td>C<\/td>\n<td>0<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td>17<\/td>\n<td>seconda minore<\/td>\n<td>C&#x266F;, D&#x266D;<\/td>\n<td>+5<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td>9<\/td>\n<td>18<\/td>\n<td>seconda maggiore<\/td>\n<td>D<\/td>\n<td>+4<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td>19<\/td>\n<td>terza minore<\/td>\n<td>D&#x266F;, E&#x266D;<\/td>\n<td>-2<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td>5<\/td>\n<td>10<\/td>\n<td>20<\/td>\n<td>terza maggiore<\/td>\n<td>E<\/td>\n<td>-14<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td>21<\/td>\n<td>quarta<\/td>\n<td>F<\/td>\n<td>-29<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td>11<\/td>\n<td>22<\/td>\n<td rowspan=\"2\">tritono<\/td>\n<td rowspan=\"2\">F&#x266F;, G&#x266D;<\/td>\n<td>-49<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td>23<\/td>\n<td>+28<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td>3<\/td>\n<td>6<\/td>\n<td>12<\/td>\n<td>24<\/td>\n<td>quinta<\/td>\n<td>G<\/td>\n<td>+2<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td>25<\/td>\n<td rowspan=\"2\">sesta minore<\/td>\n<td rowspan=\"2\">G&#x266F;, A&#x266D;<\/td>\n<td>-27<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td>13<\/td>\n<td>26<\/td>\n<td>+41<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td>27<\/td>\n<td>sesta maggiore<\/td>\n<td>A<\/td>\n<td>+6<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td>7<\/td>\n<td>14<\/td>\n<td>28<\/td>\n<td rowspan=\"2\">settima minore<\/td>\n<td rowspan=\"2\">A&#x266F;, B&#x266D;<\/td>\n<td>-31<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td>29<\/td>\n<td>+30<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td>15<\/td>\n<td>30<\/td>\n<td rowspan=\"2\">settima maggiore<\/td>\n<td rowspan=\"2\">B<\/td>\n<td>-12<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td>31<\/td>\n<td>+45<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<ul>\n<li>Il 9\u00b0 armonico \u00e8 riverberazione alla dodicesima del terzo armonico, e perci\u00f2 il rapporto 9:8 \u00e8 ottenibile anche concatenando una quinta ascendente e una quarta discendente (3\/2 &times; 3\/4).<\/li>\n<li>Il 15\u00b0 armonico \u00e8 riverberazione alla dodicesima del quinto armonico, e quindi il rapporto 15:8 si produce anche concatenando quinta e terza maggiore (3\/2 &times; 5\/4).<\/li>\n<li>Il 19\u00b0 armonico \u00e8 molto vicino al Mi&#x266D;|Re&#x266F; del temperamento equabile, adombrando una terza minore stretta (rapporto 19:16, 297.5 cents).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Elenchiamo le note ricondotte all&#8217;ambito dell&#8217;ottava iniziale: Do-Re-Mi-(Fa&#x266F;)-Sol-(La&#x266D;)-(Si&#x266D;)-Si-do. Notiamo due cose: l&#8217;assenza di IV e VI grado, la presenza di note non compatibili con i modelli della tradizione occidentale, giacch\u00e9 il settimo armonico \u00e8 un Si&#x266D; molto calante, l&#8217;undicesimo \u00e8 un Sol&#x266D; molto calante, il tredicesimo \u00e8 un La&#x266D; molto crescente.<br \/>Tralasciamo lo studio di questi ultimi armonici, che richiederebbe una specifica trattazione. Il IV e il VI grado nella scala naturale non sono derivati dalla serie armonica. Essi sono ottenuti &#8220;artificialmente&#8221; trasponendo la serie armonica di una quinta verso il basso, oppure invertendola nella serie dei subarmonici.<br \/>La scala diatonica naturale non \u00e8 sovrapponibile alla scala diatonica pitagorica; inoltre essa non permette di trasporre a causa dei due diversi intervalli di tono: do-re, fa-sol, la-si nel rapporto 9:8 e re-mi, sol-la nel rapporto 10:9. Fu proprio questa caratteristica a stimolare la ricerca della proporzione che individua il <i>tono medio<\/i>, dividendo la terza maggiore in due parti uguali.<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/02\/demo_01.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/02\/demo_01.png\" alt=\"demo_01\" width=\"800\" height=\"106\" class=\"aligncenter size-full wp-image-587\" \/><\/a><\/p>\n<p>Accordiamo il La corista, e da questo intoniamo il Fa una terza maggiore pura sotto, e quindi il Do una terza minore sopra. Otterremo la quinta pura Fa-Do. Dal Fa scendiamo di una quarta pura, accordando il Do all&#8217;ottava inferiore. Dal La saliamo di quarta pura, accordando il Re. Otteniamo due seste maggiori pure: Do-La e Fa-Re. Faccio notare che le note Do-Re sono in rapporto di 10:9, cio\u00e8 l&#8217;ampiezza del tono minore. Dal Do grave saliamo di una quinta pura al Sol, creando un intervallo di tono maggiore (9:8) tra Fa e Sol, un tono minore tra Sol e La e una quinta stretta Sol-Re, che \u00e8 rappresentata dal rapporto 40:27. A questo intervallo manca un intero comma sintonico (40\/27 &times; 81\/80 = 3\/2).<br \/>Volendo mantenere pura la terza maggiore Fa-La, possiamo correggere la posizione del Sol, abbassandolo un po&#8217;, cos\u00ec da temperare la quinta Do-Sol e il tono maggiore Fa-Sol e allargare di conseguenza l&#8217;intervallo Sol-Re e il tono minore Sol-La.<\/p>\n<p>Lodovico Fogliano (<a href=\"http:\/\/reader.digitale-sammlungen.de\/en\/fs1\/object\/display\/bsb10148093_00084.html\" target=\"_blank\">Musica Theorica<\/a>, Venezia, 1529) si occupa esattamente di questo problema. Assunto il Do come nota di partenza della scala naturale, ammette un primo Re alla distanza di quinta giusta dal Sol e un secondo Re alla distanza di quinta giusta dal La. Teorizza anche la necessit\u00e0 di due Si&#x266D; per avere le terze maggiori pure sotto i Re. Tuttavia afferma che i <i>musici practici<\/i>, per evitare l&#8217;inconveniente dei doppioni, li unificano nella nota intermedia. Zarlino critica la disomogeneit\u00e0 delle quinte e rigetta il sistema di Fogliano. Si deve rilevare che, temperando due quinte di mezzo comma ciascuna, le rimanenti dieci potrebbero essere accordate senza battimenti. L&#8217;ultima per\u00f2 deve essere appena ritoccata, stringendola dello schisma, cio\u00e8 della differenza fra comma pitagorico e comma sintonico, circa 2 cents. In un contesto ben diverso e lontano dalle considerazioni sulla giusta intonazione degli intervalli, Kirnberger due secoli dopo formul\u00f2 il temperamento irregolare di mezzo comma sintonico.<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/02\/demo_02.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/02\/demo_02.png\" alt=\"demo_02\" width=\"800\" height=\"106\" class=\"aligncenter size-full wp-image-588\" \/><\/a><\/p>\n<p>Torniamo alla dimostrazione pratica e consideriamo ora la terza minore pura La-Do che vogliamo mantenere inalterata: se intoniamo giuste la quarta La-Re e la quarta Sol-Do, generiamo due toni minori Sol-La e Do-Re 10\/9 e una quinta stretta 40\/27 Sol-Re.<br \/>Per evitare questa anomalia dobbiamo abbassare il Sol e alzare il Re. Cos\u00ec facendo allarghiamo le due quarte e miglioriamo la quinta rendendola meno stretta. In altre parole temperiamo i tre intervalli Do-Sol, Sol-Re, Re-La di 1\/3 di comma sintonico.<\/p>\n<p>Per inciso, avendo assorbito il comma gi\u00e0 in tre passaggi, potremmo agevolmente chiudere il circolo delle quinte accordando le rimanenti nove senza battimenti (e nell&#8217;ultima si scarica lo schisma).<\/p>\n<p>Ho preparato un <a href=\"http:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/02\/demo.xls\">foglio di calcolo<\/a> con le due dimostrazioni.<\/p>\n<p>Per temperare ugualmente una quinta e una quarta concatenate tramite una nota comune, bisogna ascoltare i loro battimenti. Sussiste infatti una proporzione ben precisa tra le frequenze dei battimenti:<\/p>\n<ul>\n<li>confrontando quinta grave e quarta complementare acuta i battimenti raddoppiano (es.: RE<sub>1<\/sub>-LA<sub>1<\/sub> e LA<sub>1<\/sub>-RE<sub>2<\/sub>)<\/li>\n<li>confrontando quarta grave e quinta complementare acuta i battimenti sono uguali (es.: RE<sub>1<\/sub>-SOL<sub>1<\/sub> e SOL<sub>1<\/sub>-RE<sub>2<\/sub>)<\/li>\n<li>confrontando quinta e quarta ascendenti dalla medesima nota grave i battimenti sono nella proporzione di 3 a 4 (es.: RE<sub>1<\/sub>-LA<sub>1<\/sub> e RE<sub>1<\/sub>-SOL<sub>1<\/sub>)<\/li>\n<li>confrontando una quinta e una quarta discendenti dalla medesima nota acuta i battimenti sono nella proporzione di 2 a 3 (es.: SOL<sub>1<\/sub>-DO<sub>1<\/sub> e SOL<sub>1<\/sub>-RE<sub>1<\/sub>)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Valgono naturalmente anche le altre combinazioni che si possono dedurre dallo schema, per esempio RE<sub>1<\/sub>-LA<sub>1<\/sub> a terzine e SOL<sub>1<\/sub>-RE<sub>2<\/sub> a quartine oppure DO<sub>1<\/sub>-SOL<sub>1<\/sub> a duine e SOL<sub>1<\/sub>-RE<sub>2<\/sub> a terzine; o ancora Re<sub>1<\/sub>-SOL<sub>1<\/sub> a terzine e SOL<sub>1<\/sub>-DO<sub>2<\/sub> a quartine.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La comprensione del meccanismo con cui si forma la scala diatonica naturale \u00e8 premessa necessaria per orientarsi nel vasto campo dei sistemi di temperamento mesotonici.Analizzando la composizione dello spettro acustico, troviamo in successione suoni armonici, che hanno frequenze multiple della<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2],"tags":[63,144,165,172],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/582"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=582"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/582\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=582"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=582"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.nicolaferroni.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=582"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}