Con un foglio di calcolo è possibile generare un grafico che ricordi il classico quadrante usato per mostrare il circolo delle quinte.
L’idea è disporre le quinte in successione lungo una circonferenza (o meglio una spirale). Le dodici note sono collocate iniziando dal Fa in alto e procedendo nella serie: in un verso si sale per quinte, nell’altro si scende per quinte. L’ultimo intervallo è individuato dall’arco che ha per estremi l’ultima e la prima nota della serie.

In questo esempio nella prima colonna indico le note con le lettere del sistema anglosassone, iniziando la serie da Fa e terminando con Si♭. Le note Sol♯ e Mi♭ sono rispettivamente indicate anche con La♭ e Re♯, per evidenziarne la doppia funzione nei sistemi in cui è possibile l’enarmonia.
Nella terza colonna sono le ampiezze dell’intervallo di quinta misurate in cents (1 cent equivale a 1/1200 dell’ottava). Nell’ultima riga compare la somma totale delle 12 quinte, che dovranno disporsi sull’intera circonferenza. Nel sistema equabile tale somma è pari a 8400 cents, perché la pila delle 12 quinte si estende per sette ottave (1200×7). Se l’ottava deve essere pura e suddivisa in 12 note, allora una volta stabilite le 11 quinte ascendenti da Fa a Si♭, la dodicesima quinta rimasta, Si♭-Fa, è determinata automaticamente. Ecco perché il valore di questo intervallo è calcolato dal programma senza possibilità di modifica.
Si può così generare il grafico corrispondente al sistema equabile scegliendo fra i possibili modelli quello “radiale” o “a rete” che dispone di varie opzioni modificabili a piacere. Il risultato non è una circonferenza, ma un dodecagono.
Tuttavia questo grafico è ancora piuttosto rudimentale. Ad esempio nei sistemi irregolari la quinta del lupo compare come una deformazione della figura, ma con queste impostazioni i valori sono comunque rappresentati entro l’angolo giro.

Per avere una migliore rappresentazione grafica si può ricorrere alla programmazione. La Processing Foundation ha creato p5, una libreria JavaScript accessibile online, pensata per creazioni grafiche e didattica. Il sito è dotato di un editor semplice e chiaro, da cui si può immediatamente provare a programmare. Il risultato dei miei tentativi è visibile qui sotto. Per chi fosse interessato, allego il codice da incollare nell’editor.

Per disegnare il quadrante delle quinte, si tratta di stabilire la proporzione fra l’ampiezza degli intervalli e la lunghezza dei segmenti, in modo che nel sistema equabile l’inizio e la fine della serie coincidano. In altre parole, se la somma totale degli angoli corrispondenti a ciascuna quinta deve essere pari all’angolo giro, vale il rapporto 8400/360=23,33. Ciò significa che la quinta del sistema equabile (700 cents) corrisponde ad un angolo di 30 gradi.
Muovendo il cursore sopra il grafico, si varia l’ampiezza di 12 quinte consecutive tutte uguali fra loro. Ma stavolta ho preferito lasciare la facoltà di non chiudere il circolo, e infatti se le quinte sono pure (702 cents) il grafico si modifica in una spirale il cui estremo Sol♯ sormonta l’altro capo La♭, mentre se le quinte sono strette gli estremi non si sovrappongono più.

Il quadrante delle quinte