La scala
L’evoluzione storica dei sistemi di accordatura adottati con tale configurazione della tastiera si può riassumere brevemente ricordando che le note musicali sono definite con il criterio dei rapporti di frequenza. Il ruolo di nota “corista”, cioè il suono di riferimento assoluto del sistema, oggi è dato al La3, corrispondente al La centrale del pianoforte o dell’organo nella tessitura di 8′. La sua frequenza stabilita convenzionalmente è di 440 Hz alla temperatura di 20° centigradi.
La scala diatonica che si costruisce partendo da questo suono è dunque la scala di La maggiore. Ma poichè il sistema di nomenclatura delle note inizia solitamente dal Do, mi atterrò a questa convenzione, adottando il Do corista. Perciò F1 = 261,625565 Hz
Le rimanenti sei note della serie diatonica hanno frequenze F2, F3 … F7 calcolate secondo precisi rapporti numerici. Questi rapporti tra frequenze sono rappresentati da numeri reali maggiori di 1 e minori di 2. Ad esempio sia nel sistema pitagorico, sia in quello di giusta intonazione, F5 = F1 * 3/2 = 392,4383475 Hz. La serie diatonica di sette note è ripetuta verso l’acuto raddoppiando queste frequenze, sicché F8, l’ottavo suono della successione, ha frequenza pari a F1 * 2 = 523,25113 e forma con il corista l’intervallo di ottava. Così anche la nota F12 = 784,876695 Hz forma un intervallo di ottava con F5. In modo analogo, dimezzando le frequenze si sposta la serie verso il grave.
Gli intervalli di giusta intonazione sono percepiti come puri, cioè privi di battimenti e presentano rapporti razionali semplici, ottenuti ponendo numeri interi “piccoli” (grosso modo entro la decina) sia al numeratore che al denominatore della frazione generatrice: per esempio con il rapporto 3/2 si genera l’intervallo di quinta ascendente. Quando si uniscono due intervalli si ottiene un intervallo più ampio in cui il nuovo rapporto tra le frequenze è dato dal prodotto dei due rapporti iniziali. Così la terza maggiore e la terza minore sommate dànno la quinta: 5/4 x 6/5 = 6/4 = 3/2.
Il complemento della quinta per formare l’ottava è la quarta, infatti 3/2 X 4/3 = 2.
Concatenando più intervalli in serie, si supera in ampiezza l’intervallo di ottava, e allora è necessario dimezzare la frequenza della nota acuta per portarla nell’ambito di riferimento.
Ad esempio la quinta della quinta è un intervallo di nona, più ampio dell’ottava, perciò la frequenza F9 è dimezzata così da ottenere F2, e analogamente quattro quinte concatenate generano un intervallo di diciassettesima, che viene ridotto alla terza maggiore dividendo per quattro la frequenza della nota acuta, così da ottenere F3.
Questo procedimento può essere semplificato alternando intervalli di quinta ascendente (f*3/2) e quarta discendente (f*3/4). Nasce così la serie diatonica Fa-Do-Sol-Re-La-Mi-Si del sistema pitagorico, che adotta la quinta come intervallo generatore; ciò significa quindi che le frazioni ottenute con l’elevamento a potenza del rapporto 3/2 avranno tutte il fattore 3 in comune. Per questo motivo il sistema è definito d’ordine 3, in inglese 3-limit tuning, intendendo con ciò che il numero 3 è il limite armonico del sistema, infatti oltre all’ottava l’unico altro suono sovrapponibile alla serie armonica naturale è la dodicesima, che ha frequenza tripla del suono fondamentale. Dunque, eccettuate ottava, quinta e quarta, in questo sistema i rapporti intervallari sono complessi. Vediamo solo quelli tra F1 e le altre sei note: la seconda maggiore tra F1 e F2 è (3^2)/(2^3)=9/8, la sesta maggiore tra F1 e F6 è (3^3)/(2^4)=27/16, la terza maggiore tra F1 e F3 è (3/2)^4=81/64, la settima maggiore tra F1 e F7 è (3/2)^5=243/128, e così via.
Due altri intervalli di giusta intonazione sono la terza maggiore, che è ottenuta col rapporto 5/4, e la terza minore generata dal rapporto 6/5. Il sistema diatonico tolemaico (la scala naturale diatonica di giusta intonazione) usa la decimasettima maggiore come limite armonico, cioè il suono che ha frequenza quintupla del suono fondamentale. Perciò questo sistema è un 5-limit tuning, con rapporti intervallari più semplici, perché le note hanno frequenze ricavate attraverso i primi cinque suoni armonici di F1.
La seconda maggiore tra F1 e F2 è ancora (3^2)/(2^3)=9/8, però la terza maggiore tra F1 e F3 è 5/4, la sesta maggiore tra F1 e F6 è (4/3)x(5/4)=5/3, la settima maggiore tra F1 e F7 è (3/2)x(5/4)=15/8, eccetera.
Come ho detto, nuove note furono aggiunte all’ordine diatonico a partire dal tardo Medioevo. L’ordine cromatico fu introdotto espandendo la successione dal Si verso i diesis (Fa#-Do#-Sol#) e dal Fa verso i bemolli (Sib-Mib). In teoria si può andare oltre, ovviamente non su una tastiera convenzionale, verso le note Re#-La#-Mi#-Si# da un lato e verso Lab-Reb-Solb-Dob-Fab dall’altro, tuttavia il metodo delle quinte pure comporta due conseguenze notevoli.
Primo grosso inconveniente: la concatenazione delle quinte non chiude l’ottava.
Se si moltiplica più e più volte una frequenza per 3/2 (elevando cioè 3/2 a potenza, F1 * 3/2 * 3/2 * 3/2), dopo dodici passi e con i necessari dimezzamenti per ridurlo all’ottava, l’intervallo ottenuto è formalmente una settima aumentata pitagorica (se iniziamo da Fa giungiamo a Mi#) il cui rapporto è poco maggiore di 2 (531441/262144 circa 2,027); la differenza con l’intervallo di ottava si chiama comma pitagorico. Aumentando il numero di note nell’intervallo di ottava, gli spazi tra esse si riducono: così nelle coppie Mi#-Fa, Si#-Do, Si-Dob e Mi-Fab le frequenze sono molto ravvicinate, pur avendo ciascuna nota una funzione musicale ben distinta. Inoltre anche le coppie Fa#-Solb, Do#-Reb, Sol#-Lab, Re#-Mib e La#-Sib presentano suoni dalle frequenze molto vicine fra loro. Potremmo espandere la serie di quinte in una spirale infinita, giungendo sempre più in prossimità di note già toccate. Se dopo 12 passi lo scarto accumulato è pari a un intero comma pitagorico, cioè 24 cents, dopo 24 passi la deviazione diventa di 2 commi e così via. Inoltre, si deve tener conto che lo scarto è positivo salendo verso i diesis, ma è negativo scendendo verso i bemolli. Da Fa si giunge a Mi# che equivale a Fa + 1 comma, mentre da Si approdiamo a Dob che equivale a Do – 1 comma. Con 48 passi si genera uno scostamento di 93.84 cents, di poco più ampio del semitono diatonico pitagorico pari a 90.22 cents. Perciò una serie di 48 quinte pure permetterebbe quasi la sovrapposizione dei due estremi.
Veniamo ora al secondo inghippo di cui parlavo prima: la terza minore e la terza maggiore pitagoriche, generate rispettivamente dopo tre e dopo quattro passi nella catena delle quinte, si discostano molto dagli intervalli di giusta intonazione, la differenza si chiama comma sintonico ed è poco minore del comma pitagorico. La differenza tra i due commi si chiama schisma.
Per inciso, faccio notare che, come la concatenazione di quinte, anche la concatenazione di terze maggiori pure non porta a un circolo chiuso. Se ad esempio da Mib si costruisce una pila di terze maggiori, essa potrebbe ergersi all’infinito: Mib-Sol-Si-Re#-Fa##-La##-Do###… Tra Mib e Re# c’è un intervallo di settima aumentata, più stretto dell’ottava di 41 cents, il cosiddetto comma enarmonico.