La comprensione del meccanismo con cui si forma la scala diatonica naturale è premessa necessaria per orientarsi nel vasto campo dei sistemi di temperamento mesotonici.
Analizzando la composizione dello spettro acustico, troviamo in successione suoni armonici, che hanno frequenze multiple della nota fondamentale secondo i numeri interi.
Consideriamo solo i multipli che non siano riverberazioni all’ottava di note già comparse nello spettro. Nell’ambito di un’ottava sopra la fondamentale troviamo solo l’armonico di quinta, due ottave sopra compaiono quelli di terza maggiore e di settima minore, tre ottave sopra sono presenti gli armonici di seconda maggiore e settima maggiore. In aggiunta agli intervalli già rilevati si individuano altri suoni in rapporto con la fondamentale secondo i numeri 11 e 13.
“Harmonic Series” by User:MusicMaker5376 at English Wikipedia. – Own work (Original caption: “Self-made on Sibelius.”). Licensed under CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons.
Se per praticità assumiamo la nota DO come riferimento, otteniamo:
- Fondamentale 1:1 Do
- Ottava 2:1 do
- Duodecima 3:1 ridotta a Quinta 3:2 Sol
- [Decimaquinta 4:1]
- Decimasettima 5:1 ridotta a Terza maggiore 5:4 Mi
- [Decimanona 6:1]
- Vigesimaprima 7:1 ridotta a Settima minore 7:4 (Si♭)
- [Vigesimaseconda 8:1]
- Vigesimaterza 9:1 ridotta a Seconda maggiore 9:8 Re
- …
- Vigesimaottava 15:1 ridotta a Settima maggiore 15:8 Si
- …
La successione è infinita, e produce nuove note con la cadenza dei numeri dispari: fra gli interi 2 e 4 è il 3, fra gli interi 4 e 8 sono il 5 e il 7, fra 8 e 16 sono 9, 11, 13, 15; tuttavia per costruire la scala diatonica di intonazione naturale ci fermeremo qui. Rimando all’utile voce harmonic series di Wikipedia, da cui riporto la seguente tabella.
| Armonico | Intervallo | Nota | Scostamento da ET in ¢ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | unisono (ottava) | C | 0 |
| 17 | seconda minore | C♯, D♭ | +5 | ||||
| 9 | 18 | seconda maggiore | D | +4 | |||
| 19 | terza minore | D♯, E♭ | -2 | ||||
| 5 | 10 | 20 | terza maggiore | E | -14 | ||
| 21 | quarta | F | -29 | ||||
| 11 | 22 | tritono | F♯, G♭ | -49 | |||
| 23 | +28 | ||||||
| 3 | 6 | 12 | 24 | quinta | G | +2 | |
| 25 | sesta minore | G♯, A♭ | -27 | ||||
| 13 | 26 | +41 | |||||
| 27 | sesta maggiore | A | +6 | ||||
| 7 | 14 | 28 | settima minore | A♯, B♭ | -31 | ||
| 29 | +30 | ||||||
| 15 | 30 | settima maggiore | B | -12 | |||
| 31 | +45 | ||||||
- Il 9° armonico è riverberazione alla dodicesima del terzo armonico, e perciò il rapporto 9:8 è ottenibile anche concatenando una quinta ascendente e una quarta discendente (3/2 × 3/4).
- Il 15° armonico è riverberazione alla dodicesima del quinto armonico, e quindi il rapporto 15:8 si produce anche concatenando quinta e terza maggiore (3/2 × 5/4).
- Il 19° armonico è molto vicino al Mi♭|Re♯ del temperamento equabile, adombrando una terza minore stretta (rapporto 19:16, 297.5 cents).
Elenchiamo le note ricondotte all’ambito dell’ottava iniziale: Do-Re-Mi-(Fa♯)-Sol-(La♭)-(Si♭)-Si-do. Notiamo due cose: l’assenza di IV e VI grado, la presenza di note non compatibili con i modelli della tradizione occidentale, giacché il settimo armonico è un Si♭ molto calante, l’undicesimo è un Sol♭ molto calante, il tredicesimo è un La♭ molto crescente.
Tralasciamo lo studio di questi ultimi armonici, che richiederebbe una specifica trattazione. Il IV e il VI grado nella scala naturale non sono derivati dalla serie armonica. Essi sono ottenuti “artificialmente” trasponendo la serie armonica di una quinta verso il basso, oppure invertendola nella serie dei subarmonici.
La scala diatonica naturale non è sovrapponibile alla scala diatonica pitagorica; inoltre essa non permette di trasporre a causa dei due diversi intervalli di tono: do-re, fa-sol, la-si nel rapporto 9:8 e re-mi, sol-la nel rapporto 10:9. Fu proprio questa caratteristica a stimolare la ricerca della proporzione che individua il tono medio, dividendo la terza maggiore in due parti uguali.
Accordiamo il La corista, e da questo intoniamo il Fa una terza maggiore pura sotto, e quindi il Do una terza minore sopra. Otterremo la quinta pura Fa-Do. Dal Fa scendiamo di una quarta pura, accordando il Do all’ottava inferiore. Dal La saliamo di quarta pura, accordando il Re. Otteniamo due seste maggiori pure: Do-La e Fa-Re. Faccio notare che le note Do-Re sono in rapporto di 10:9, cioè l’ampiezza del tono minore. Dal Do grave saliamo di una quinta pura al Sol, creando un intervallo di tono maggiore (9:8) tra Fa e Sol, un tono minore tra Sol e La e una quinta stretta Sol-Re, che è rappresentata dal rapporto 40:27. A questo intervallo manca un intero comma sintonico (40/27 × 81/80 = 3/2).
Volendo mantenere pura la terza maggiore Fa-La, possiamo correggere la posizione del Sol, abbassandolo un po’, così da temperare la quinta Do-Sol e il tono maggiore Fa-Sol e allargare di conseguenza l’intervallo Sol-Re e il tono minore Sol-La.
Lodovico Fogliano (Musica Theorica, Venezia, 1529) si occupa esattamente di questo problema. Assunto il Do come nota di partenza della scala naturale, ammette un primo Re alla distanza di quinta giusta dal Sol e un secondo Re alla distanza di quinta giusta dal La. Teorizza anche la necessità di due Si♭ per avere le terze maggiori pure sotto i Re. Tuttavia afferma che i musici practici, per evitare l’inconveniente dei doppioni, li unificano nella nota intermedia. Zarlino critica la disomogeneità delle quinte e rigetta il sistema di Fogliano. Si deve rilevare che, temperando due quinte di mezzo comma ciascuna, le rimanenti dieci potrebbero essere accordate senza battimenti. L’ultima però deve essere appena ritoccata, stringendola dello schisma, cioè della differenza fra comma pitagorico e comma sintonico, circa 2 cents. In un contesto ben diverso e lontano dalle considerazioni sulla giusta intonazione degli intervalli, Kirnberger due secoli dopo formulò il temperamento irregolare di mezzo comma sintonico.
Torniamo alla dimostrazione pratica e consideriamo ora la terza minore pura La-Do che vogliamo mantenere inalterata: se intoniamo giuste la quarta La-Re e la quarta Sol-Do, generiamo due toni minori Sol-La e Do-Re 10/9 e una quinta stretta 40/27 Sol-Re.
Per evitare questa anomalia dobbiamo abbassare il Sol e alzare il Re. Così facendo allarghiamo le due quarte e miglioriamo la quinta rendendola meno stretta. In altre parole temperiamo i tre intervalli Do-Sol, Sol-Re, Re-La di 1/3 di comma sintonico.
Per inciso, avendo assorbito il comma già in tre passaggi, potremmo agevolmente chiudere il circolo delle quinte accordando le rimanenti nove senza battimenti (e nell’ultima si scarica lo schisma).
Ho preparato un foglio di calcolo con le due dimostrazioni.
Per temperare ugualmente una quinta e una quarta concatenate tramite una nota comune, bisogna ascoltare i loro battimenti. Sussiste infatti una proporzione ben precisa tra le frequenze dei battimenti:
- confrontando quinta grave e quarta complementare acuta i battimenti raddoppiano (es.: RE1-LA1 e LA1-RE2)
- confrontando quarta grave e quinta complementare acuta i battimenti sono uguali (es.: RE1-SOL1 e SOL1-RE2)
- confrontando quinta e quarta ascendenti dalla medesima nota grave i battimenti sono nella proporzione di 3 a 4 (es.: RE1-LA1 e RE1-SOL1)
- confrontando una quinta e una quarta discendenti dalla medesima nota acuta i battimenti sono nella proporzione di 2 a 3 (es.: SOL1-DO1 e SOL1-RE1)
Valgono naturalmente anche le altre combinazioni che si possono dedurre dallo schema, per esempio RE1-LA1 a terzine e SOL1-RE2 a quartine oppure DO1-SOL1 a duine e SOL1-RE2 a terzine; o ancora Re1-SOL1 a terzine e SOL1-DO2 a quartine.