I temperamenti
Tra la fine del Quattrocento e l’inizio del Cinquecento si afferma il sistema di temperamento mesotonico a un quarto di comma: 11 quinte sono ridotte di circa 5 cents, l’intervallo restante è il “lupus”, 8 terze maggiori sono pure. Ma durante il tardo Rinascimento e più ancora in epoca barocca si cominciarono ad escogitare ritocchi al sistema mesotonico classico, che permettessero di usare con maggiore libertà i tasti cromatici, cominciando con quelli più comunemente richiesti dalla prassi ovvero Re#-Mib, Sol#-Lab, La#-Sib. L’altra via percorribile, cioè l’aggiunta di tasti spezzati, fu adottata con minor fortuna, poiché è molto dispendiosa, specialmente nel caso degli organi, e richiede all’esecutore abilità non comuni. In Italia una considerevole diffusione di strumenti con tastiere di questo tipo si affermò soprattutto nella prima metà del Seicento, sostenuta anche da circoli musicali molto importanti tra le corti di Ferrara, Napoli e Roma.
Ma in epoca moderna, dal secondo Seicento in poi, nuove esigenze armoniche e tonali, oltre alla prassi della trasposizione, comportarono l’abbandono delle tastiere “allargate”. Il temperamento anche degli intervalli di terza non fu più visto come un tabù e si giunse così a lasciare intatto solamente il rapporto d’ottava.
Dal punto di vista matematico, le operazioni richieste nella teoria degli intervalli erano limitate a rapporti fra numeri interi, richiedendo in alcuni casi l’applicazione di criteri geometrici di proporzionalità per calcolare la lunghezza teorica della corda vibrante nel monocordo. Ma sin dal tardo Rinascimento cominciarono a comparire operazioni più complesse della semplice moltiplicazione e divisione di numeri interi, volte a suddividere gli intervalli principali in parti minime da usare poi come modulo per l’accordatura. Gli strumenti teorici (elevamento a potenza, estrazione di radice, logaritmi) cominciavano ad essere sufficientemente conosciuti e affidabili, mentre il monocordo si rivelò sempre più impreciso nel calcolo delle lunghezze d’onda. Infatti dividere un rapporto in n parti uguali significa estrarne l’ennesima radice (in sostanza è la divisione di una divisione). L’ottava è ripartita in dodici intervalli, e dunque la radice dodicesima di 2 è il valore che permette di ottenere la frequenza della nota che sta a un semitono dalla nota di riferimento. Operare con rapporti semplici, come il 2:3 che genera la quinta pura, non permette di ottenere la suddivisione dell’ottava in parti uguali, perché 1:2 e 2:3 non sono commensurabili, e questa incongruenza risulta nel comma, come abbiamo visto.
Ripetendo l’estrazione di radice e semplificando si ottiene la radice sesta di 2, valore che divide l’ottava in sei parti uguali a distanza di tono l’una dall’altra. Poi ancora la radice quarta di 2 divide l’ottava in quattro parti uguali a distanza di terza minore, e la radice cubica di 2 divide l’ottava in tre terze maggiori. Da ultimo la radice quadrata di 2 divide l’ottava in due tritoni.
Per aggirare la difficoltà del computo dell’estrazione di radice, si ricorreva un tempo alle proprietà dei logaritmi, che consentono di semplificare il calcolo, riducendo di grado le operazioni. Nell’Ottocento grazie alle tavole logaritmiche fu introdotto il cent come unità elementare per il calcolo dell’ampiezza degli intervalli. L’ottava è convenzionalmente rappresentata dal valore 1200 cents, la quinta pura ne vale circa 702 e la terza maggiore ne vale circa 386, il comma pitagorico circa 23.5, quello sintonico circa 21.5, lo schisma circa 2.
Il cent è adottato universalmente come unità di misura dell’ampiezza degli intervalli, ma presenta un inconveniente determinato dal fatto che il suo inventore, il britannico Alexander John Ellis, si basò sul sistema di temperamento equabile. La divisione del semitono equabile in cento microintervalli è puramente convenzionale ed è veramente conveniente in un solo caso, quando cioè viene applicata al sistema equabile per indicarne gli intervalli con numeri interi facilmente memorizzabili. Ma ogni altro intervallo, da quelli di giusta intonazione a quelli che compaiono nei vari sistemi d’accordatura, risulta sempre approssimato ad almeno cinque o sei cifre decimali, se si vuole operare con un buon grado di precisione, altrimenti il computo di uno scomparto d’ottava riesce sempre difettoso per l’accumularsi degli errori d’arrotondamento.
Per questo motivo e per convenienza mnemonica l’organaro John Brombaugh propose e adottò nella seconda metà del Novecento una nuova unità di misura, detta Temperament Unit o TU, che è fissata nella 720 parte del comma pitagorico. Questo accorgimento permette di indicare con 660 l’ampiezza del comma sintonico e con 60 l’ampiezza dello schisma, a meno di un minuscolo scarto davvero irrilevante. Ebbene 720, 660 e 60 sono divisibili esattamente per 2, 3, 4, 5, 6, e 12, che sono i numeri comunemente usati nel temperamento delle quinte: ad esempio 4 nel comune tono medio, 12 nell’equabile, eccetera. Perciò la descrizione di qualunque sistema d’accordatura espressa in TU è possibile ricorrendo a soli numeri interi, facilmente memorizzabili. Altre unità di misurazione sono state proposte per i cosiddetti nanointervalli, ma ciò porterebbe la discussione troppo lontano. La proposta di Brombaugh è rimasta pressoché inascoltata, anche a causa del livellamento allo standard equabile e della diffusione dell’informatica, che ha eliminato ogni difficoltà mnemonica e computazionale.