La scala pitagorica
comma pitagorico, schisma
La scala pitagorica è concepita generando le note a partire dalla frequenza di base in successione di quinte pure (rapporto 3:2).
Ovviamente è possibile salire di quinta verso l’ordine dei diesis oppure scendere dello stesso intervallo verso l’ordine dei bemolli.
Do1 Sol1 Re2 La2 Mi3 Si3 Fa#4 Do#5 Sol#5 Re#6 La#6 Mi#7 Si#7
|-----|----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| | | | | | | |
Do1 Do2 Do3 Do4 Do5 Do6 Do7 Do8|
|---------|---------|---------|---------|---------|---------|--------| |
| |
Comma
pitagorico
È evidente che la serie delle potenze di 2 e quella di 1.5 non si intersecano, infatti il giro delle quinte pure non può chiudersi né dopo dodici intervalli né mai: procede all’infinito sia salendo che scendendo. Iniziando dal Do e salendo per quinte, si raggiunge il Si#, che non coincide con la nota di partenza, ma ne risulta più acuto. Analogamente, iniziando dal Do e scendendo per quinte, si trova il Dob, che è più basso della nota iniziale. L’intervallo fra i due estremi del giro di dodici quinte è detto comma pitagorico o comma ditonico. Esso è pari alla “differenza” fra l’intervallo di 12 quinte e l’intervallo di 7 ottave, cioè
(3/2)12 ÷ 27 = 531441/524288 (1,0136)
ossia (701.95 × 12) – (1200 × 7) = 8423.4 – 8400 = 23.4 ¢
ed è più largo del comma sintonico di 1.95372 ¢.
Questo nuovo intervallo è detto schisma; approssimativamente 12 schismi fanno un comma pitagorico, 11 un comma sintonico.
Se ad esempio costruiamo la scala diatonica pitagorica dal Do otteniamo questa successione:
Herz Cents Rapporto Intervallo
C 260.7407 0.00 1/1
} 9/8 203.91 tono
D 293.3333 203.91 9/8 = 1.125
} 9/8 203.91 tono
E 330.0000 407.82 81/64 = 1.266
} 256/243 90.23 semitono
F 347.6543 498.05 4/3 = 1.333
} 9/8 203.91 tono
G 391.1111 701.95 3/2 = 1.5
} 9/8 203.91 tono
A 440.0000 905.86 27/16 = 1.687
} 9/8 203.91 tono
B 495.0000 1109.77 243/128 = 1.898
} 256/243 90.23 semitono
c 521.4815 1200.00 2/1
Volendo trovare il valore di diesis e bemolli, si continua nella successione di quinte nelle due direzioni:
Si-Fa# => 243/128 × 3/2 = 729/256
Il semitono tra Fa e Fa# è evidentemente diverso dal semitono posto fra Mi-Fa o Si-Do:
729/256 × 3/8 = 2187/2048 = 1,9678
Si presentano infatti due diversi tipi di semitono:
- semitono cromatico
- vale 113.68 ¢ ed è altrimenti noto come apotome
- semitono diatonico
- è pari a 90.23 ¢ ottenuto con il rapporto 256/243 = 1,0535; detto anche limma.
La distanza fra questi due semitoni è 113.7 – 90.2 = 23.5 ¢ il comma pitagorico.
Da questo fatto consegue che ad esempio Mib e Re#, che si pongono agli estremi del medesimo ciclo di quinte, non coincidono e dunque la scala pitagorica non permette la circolazione completa delle tonalità, non ammette cioè l’enarmonia.
Si noti anche un altro dato importante: i diesis sono più acuti dei bemolli di un comma pitagorico: Do#=114 ¢ e Reb=90 ¢
Inoltre, poiché le quinte sono pure, le terze maggiori sono larghe d’un comma sintonico:
407.8 – 386.3 = 21.5 ¢
terza pitagorica = 9/8 × 9/8 = 81/64
Le terze minori sono strette dello stesso intervallo:
315.6 – 294.1 = 21.5 ¢ (rapporto 96/81).
Questo sistema fu in vigore nell’Antichità e nel Medio Evo, sino a tutto il secolo XV, è eccellente per la monodia e per la prima fase della polifonia, quando la terza maggiore non era considerata come consonanza (del resto la terza pitagorica ha un infimo indice di consonanza 0.023).
Dovendo adattare il sistema pitagorico ai limiti della tastiera di 12 note è necessario snaturarlo in una quinta, che non sarà più pura, ma stretta di un intero comma pitagorico.
Uno degli esempi storicamente documentati di accordatura pitagorica applicata a uno strumento a tastiera è quello proposto da Henri Arnaut De Zwolle verso la metà del XV secolo. Egli accorda la serie di quinte pure scendendo verso l’ordine dei bemolli e partendo dalla nota Si. La quinta stretta è posta tra Si e Fa#, che per la verità è calcolato come Solb (si potrebbe però sacrificare una qualunque altra quinta, in base alle esigenze musicali).
Così facendo, egli ottiene terze maggiori decisamente troppo larghe e dissonanti, tuttavia le quattro contenute entro la quinta stretta (cioè re-fa#, la-do#, mi-sol# e si-re#) sono invece quasi pure, perché risultano dal rapporto 8192/6561, pari a 384.36 ¢. Nonostante la polifonia del Quattrocento facesse uso moderato della terza maggiore come intervallo armonico, si deve pur considerare l’importanza che hanno il modo dorico, il frigio e i loro plagali in quel repertorio. Esemplari sono i brani contenuti nel codice di Robertsbridge, in quello di Faenza, nel Buxheimer Orgelbuch e quelli di Adam Ileborg.
Questo potrebbe essere il quadrante:
Do
Fa 0 | 0 Sol
0 | 0
(La#)Sib | Re
0 | 0
(Re#)Mib -------- | -------- La
0 | 0
Sol#(Lab) | Mi
0 | 0
Do#(Reb) 0 | -comma pitagorico Si
Fa#(Solb)
Questa è la tabella riassuntiva del sistema di accordatura pitagorica cromatica secondo Henri Arnaut De Zwolle con i battimenti delle terze maggiori e delle quinte:
| Nota | Frequenza | Rapporto | Cents | temp. 3ª Mag. |
battimenti 3ª Mag. |
temp. 5ª |
battimenti 5ª |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| DO | 260.7407 | 1/1 | 0.000 | 21.5063 | 16.3516 | 0.00 | 0.00 |
| DO# | 274.6898 | 256/243 | 90.225 | 21.5063 | 17.2264 | 0.00 | 0.00 |
| RE | 293.3333 | 9/8 | 203.910 | -1.9537 | -1.6598 | 0.00 | 0.00 |
| RE# | 309.0261 | 32/27 | 294.135 | 21.5063 | 19.3797 | 0.00 | 0.00 |
| MI | 330.0000 | 81/64 | 407.820 | -1.9537 | -1.8673 | 0.00 | 0.00 |
| FA | 347.6543 | 4/3 | 498.045 | 21.5063 | 21.8021 | 0.00 | 0.00 |
| FA# | 366.2531 | 1024/729 | 588.270 | 21.5063 | 22.9685 | 0.00 | 0.00 |
| SOL | 391.1111 | 3/2 | 701.955 | 21.5063 | 24.5274 | 0.00 | 0.00 |
| SOL# | 412.0348 | 128/81 | 792.180 | 21.5063 | 25.8396 | 0.00 | 0.00 |
| LA | 440.0000 | 27/16 | 905.865 | -1.9537 | -2.4897 | 0.00 | 0.00 |
| LA# | 463.5391 | 16/9 | 996.090 | 21.5063 | 29.0695 | 0.00 | 0.00 |
| SI | 495.0000 | 243/128 | 1109.775 | -1.9537 | -2.8010 | -23.46 | -20.0554 |
| DO | 521.4815 | 2/1 | 1200.000 | 21.5063 | 32.7032 | 0.00 | 0.00 |
Si osserva che nel sistema proposto il tono intero di 203.91 ¢ pari al rapporto 9/8 è presente fra F#-G#-A#[Bb]-C-D-E e fra C#-D#[Mib]-F-G-A-B, ed è composto sommando i semitoni nell’ordine limma + apotome oppure apotome + limma; inoltre esistono due toni interi di 180.45 ¢ ottenuti dalla somma di due limma e sono tra le note E-F# e B-C#