La scala naturale
scala diatonica di giusta intonazione o zarliniana
I suoni armonici che accompagnano il suono fondamentale emesso da una canna possiedono frequenza multipla secondo i numeri interi: il fondamentale ha frequenza 1, il secondo armonico ha frequenza doppia, il terzo tripla e così via.
Il secondo armonico (rapporto 2:1) forma l’intervallo di ottava, così chiamato perché segue alle sette note che formano la scala nella musica occidentale.
Dimezziamo la frequenza del terzo armonico (rapporto 3:1) per ottenere un suono vicino al fondamentale, entro l’ambito dell’ottava: la quinta giusta 3:2. Il quarto armonico (rapporto 4:1) si riduce con lo stesso procedimento ottenendo l’ottava: 4/2=2:1. Il quinto armonico (rapporto 5:1) sarà dimezzato per due volte, così da rientrare nell’ambito dell’ottava come terza maggiore 5:4.
L’intervallo naturale suona quindi puro, senza battimenti, ed è tanto più “piacevole” all’ascolto quanto più è “semplice” il rapporto fra le frequenze dei suoni.
Iniziando da Do, questo procedimento può generare le seguenti note: DO (2/1) – RE (9/8) – MI (5/4) – SOL (3/2) – SI (15/8). Mancano il FA e il LA.
Nella serie degli armonici compare al 21o posto un suono che riportato nell’ambito dell’ottava è riconoscibile come un FA calante (21/16) che non si usa. Similmente un La crescente compare al 27o posto, ma non si usa.
Nella serie compaiono i due accordi DO-MI-SOL e SOL-SI-RE: se avessimo FA e LA, la successione SOL-SI-DO-RE-MI potrebbe essere trasposta una quinta sotto divenendo DO-MI-FA-SOL-LA.
Quindi i suoni FA e LA sono ottenuti con una “trasposizione” del procedimento descritto, una sorta di modulazione dal sistema del suono d’origine DO al sistema di FA. Considerando il DO come terzo armonico di FA si ottiene per quest’ultimo il rapporto 4/3.
Il LA è terza maggiore (5/4) sopra il FA (4/3) cioè 5/4 × 4/3 = 5/3.
Questo schema ricorda la simile disposizione degli esacordi molle, naturale e duro della solmisazione, e tuttavia do-re-mi (tono grande – tono piccolo) equivale a fa-sol-la ma non a sol-la-si (tono piccolo – tono grande):
Fa - La - Do - Fa
Do - Mi - Sol - Do
Sol - Si - Re - Sol
Riassumendo quindi la teoria zarliniana, la gamma si costruisce suddividendo armonicamente prima l’intervallo di ottava e poi i due intervalli che se ne ottengono, cioè quinta e quarta:
2:1 DO-do
_____|______ _________|__________
| | | |
3:2 4:3 DO-SOL SOL-do
__|__ ____|_____ ___|___ _______|_______
| | | | | | | | | |
5:4 6:5 10:9 9:8 16:15 DO-MI MI-SOL SOL-LA LA-SI SI-do
La scala è così formata:
Herz Cents Rapporto Intervallo
C 264 0.00 1/1
} 9/8 203.91 tono grande
D 297 203.91 9/8 = 1.125
} 10/9 182.40 tono piccolo
E 330 386.31 5/4 = 1.25
} 16/15 111.74 semitono
F 352 498.05 4/3 = 1.333
} 9/8 203.90 tono grande
G 396 701.95 3/2 = 1.5
} 10/9 182.41 tono piccolo
A 440 884.36 5/3 = 1.666
} 9/8 203.91 tono grande
B 495 1088.27 15/8 = 1.875
} 16/15 111.73 semitono
C 528 1200.00 2/1
Gli intervalli contenuti nell’ottava della scala naturale di Do sono:
DO RE MI FA SOL LA SI do
DO 1:1 9:8 5:4 4:3 3:2 5:3 15:8 2:1
RE 10:9 32:27 4:3 40:27 5:3 16:9
MI 16:15 6:5 4:3 3:2 8:5
FA 9:8 5:4 45:32 3:2
SOL 10:9 5:4 4:3
LA 9:8 6:5
SI 16:15
Analizzando la scala diatonica “naturale” di Do notiamo che:
- la terza maggiore 5:4 (386,3137 ¢) è fra le note Do-Mi, Fa-La, Sol-Si;
- la terza minore 6:5 (315,641 ¢) tra Mi-Sol, La-Do, Si-Re;
- la quinta giusta 3:2 (701,955 ¢) fra Do-Sol, Mi-Si, Fa-Do, Sol-Re, La-Mi;
- la quarta giusta 4:3 (498,045 ¢) fra Do-Fa, Re-Sol, Mi-La, Sol-Do, Si-Mi;
- la quinta Re-La vale 10/9 × 16/15 × 9/8 × 10/9 = 40:27 pari a 680,4487 ¢: è molto stretta e non è tollerata dall’orecchio;
- la terza minore Re-Fa (32/27 = 1.185) è stretta e vale 294 ¢;
- la quarta eccedente Fa-Si (45:32) o tritono diatonico è il noto diabolus in musica e vale 590 ¢;
- esistono due tipi di tono (e di conseguenza anche due tipi di settime minori): grande (9:8) fra Do-Re, Fa-Sol, La-Si, pari a 204 ¢ e piccolo (10:9) fra Re-Mi e Sol-La pari a 182 ¢;
- il semitono diatonico vale 16:15 fra Mi-Fa e Si-do, pari a 112 ¢.
La scala naturale è ottenuta sulla base dei cosiddetti “rapporti semplici”, ossia gli intervalli che producono il maggior effetto di consonanza. Questi intervalli favoriscono la sovrapposizione degli ipertoni (o armoniche), dando così alti indici di consonanza. Ad esempio nella terza maggiore pura Do-Mi si trovano sovrapposte la 5ª, 10ª, 15ª, 20ª… armonica del Do con la 4ª, 8ª, 12ª, 18ª… del Mi. Dato un rapporto di frequenze m/n l’indice di consonanza si calcola così: E = (m+n)/m·n. Più l’indice è alto, più elevato è il grado di consonanza. Nella terza maggiore pura (5:4) l’indice vale (5+4)/(5×4)=9/20=0,45. Nella scala naturale abbiamo i seguenti intervalli, in ordine di consonanza:
Rapporto Indice
di frequenze di consonanza
Unisono C-C 1:1 2/1 = 2.00
Ottava C-C' 2:1 3/2 = 1.50
Quinta perfetta C-G 3:2 5/6 = 0.83
Quarta perfetta C-F 4:3 7/12 = 0.58
Sesta maggiore C-A 5:3 8/15 = 0.53
Terza maggiore C-E 5:4 9/20 = 0.45
Terza minore E-G 6:5 11/30 = 0.37
Sesta minore A-F' 8:5 13/40 = 0.32
Settima minore E-D' 9:5 14/45 = 0.31
Tono grande C-D 9:8 17/72 = 0.24
Tono piccolo D-E 10:9 19/90 = 0.21
Settima maggiore C-B 15:8 23/120 = 0.19
Settima minore grave D-C' 16:9 25/144 = 0.17
Semitono E-F 16:15 31/240 = 0.13
Problema cruciale è l’impossibilità di far coesistere due degli intevalli fondamentali: nella scala diatonica naturale di Do se si accorda pura la terza minore La-Do, come deve essere per il rapporto 6:5, la quinta Re-La non sarà mai pura, bensì risulterà stretta di un intervallo detto comma sintonico. L’ampiezza del comma si può calcolare sottraendo tale quinta stretta (40:27) dalla quinta pura (3:2), cioè
40/27 ÷ 3/2 = 80/81 (0,988) ossia 701.95 – 680.45 = 21.5 ¢.
L’uso della scala diatonica naturale è pressochè limitato alla monodia.
La scala cromatica di dodici note nel sistema naturale non è usata negli strumenti ad accordatura fissa: la presenza di due diversi tipi di tono (9:8 e 10:9) comporta l’impossibilità di modulazioni a tonalità differenti: per esempio, la quinta re-la in Do maggiore (II-VI grado) vale 40:27, e in Re maggiore (I-V grado) dovrebbe valere 3:2.
Nonostante i gravi inconvenienti illustrati, negli strumenti a tastiera l’ampliamento della scala con i suoni cromatici comporta l’introduzione dei cosiddetti tasti spezzati per rendere disponbibili sia i bemolli che i diesis. Ad esempio il Sol# è calcolato come terza maggiore di Mi, per rispettare il criterio della massima consonanza e vale 5/4 × 5/4 = 25:16. Il Lab però, calcolato con il medesimo criterio come sesta minore di Do, è molto più acuto del Sol#, e non ammette enarmonia, giacché vale 2 × 4/5 = 8:5. L’intervallo tra le due note è di 41 cent, noto come comma del lupo o comma enarmonico.
Dunque, se si accordano tre terze maggiori pure ascendenti o discendenti, non si ritorna alla nota iniziale: l’enarmonia è impossibile. Do-Mi, Mi-Sol#, Sol#-Si# oppure Si-Sol, Sol-Mib, Mib-Dob, non chiudono un giro di terze maggiori: esso procede all’infinito sia verso l’acuto che verso il grave. Il comma enarmonico è la differenza fra la somma di tre terze maggiori e l’ottava, ed è il più largo fra i tre commi:
5/4×5/4×5/4=125/64; 2÷125/64=128:125 (1,024)
è la differenza fra Do e Si# nel ciclo di terze maggiori.