Progressioni e metodo geometrico
Dopo aver calcolato la lunghezza teorica delle lastre con l’aiuto del metodo geometrico, è necessario stabilire quale relazione deve sussistere fra tali lunghezze e le relative larghezze di lastra.
Sulle ascisse sono riportate le lunghezze delle lastre, sulle ordinate sono segnate le larghezze.
I criteri seguiti storicamente stabilivano, in relazione al tipo di canna e di sonorità desiderate, un valore di riferimento che poteva rimanere costante per tutta l’estensione del registro o variare in base alla tessitura.
Sulle ascisse sono riportate le lunghezze delle lastre, sulle ordinate sono segnate le larghezze.
I criteri seguiti storicamente stabilivano, in relazione al tipo di canna e di sonorità desiderate, un valore di riferimento che poteva rimanere costante per tutta l’estensione del registro o variare in base alla tessitura.
Il sistema di calcolo delle lunghezze delle lastre era fondato sui rapporti pitagorici, e godeva di autorità indiscussa. Mantenendo costante il rapporto fra i lati delle lastre, si finiva per applicare quello stesso sistema anche alle larghezze. Ricordo che il rapporto di 1÷4 era considerato il valore ideale per il registro di Principale.
Stabilita quale deve essere la proporzione fra i lati della prima lastra, si riporta nel grafico il valore della larghezza in corrispondenza della prima nota. Si traccia poi la retta che passa per l’origine del sistema cartesiano e il punto individuato da queste prime coordinate: i rimanenti valori sono generati dalle intersezioni fra tale retta e le perpendicolari alle ascisse.
Faccio notare che il grafico può essere disegnato con le ascisse in ordine decrescente, così da avere le note disposte dal grave all’acuto da sinistra a destra, oppure con le ascisse normalmente crescenti, e la disposizione delle note invertita dall’acuto al grave.
Stabilita quale deve essere la proporzione fra i lati della prima lastra, si riporta nel grafico il valore della larghezza in corrispondenza della prima nota. Si traccia poi la retta che passa per l’origine del sistema cartesiano e il punto individuato da queste prime coordinate: i rimanenti valori sono generati dalle intersezioni fra tale retta e le perpendicolari alle ascisse.
Faccio notare che il grafico può essere disegnato con le ascisse in ordine decrescente, così da avere le note disposte dal grave all’acuto da sinistra a destra, oppure con le ascisse normalmente crescenti, e la disposizione delle note invertita dall’acuto al grave.
Tuttavia la progressione ottenuta risulta deludente dal punto di vista fonico se applicata all’intero ambito moderno del registro (cinque ottave, contro le due o tre dei portativi medioevali), perché si scosta molto dal profilo che descrive la risposta dell’orecchio umano all’intensità sonora in funzione della frequenza. Se l’intensità del suono emesso dalle prime canne gravi è generalmente accettata, tuttavia si avverte nel passaggio alla tessitura centrale un impoverimento del timbro e quindi, verso l’acuto, un indebolimento del volume di circa una decina di decibel.
Questa carenza è imputabile ai diametri troppo stretti. Durante l’intonazione di un registro d’organo non è possibile correggere del tutto l’inadeguatezza di una progressione così rudimentale. Bisogna dunque modificare gradualmente il rapporto fra i lati delle lastre, per ottenere canne con diametri meglio proporzionati verso il grave e l’acuto, che sono gli ambiti in cui maggiormente si avvertono gli squilibri. Ciò può esser fatto in tre modi:
Questa carenza è imputabile ai diametri troppo stretti. Durante l’intonazione di un registro d’organo non è possibile correggere del tutto l’inadeguatezza di una progressione così rudimentale. Bisogna dunque modificare gradualmente il rapporto fra i lati delle lastre, per ottenere canne con diametri meglio proporzionati verso il grave e l’acuto, che sono gli ambiti in cui maggiormente si avvertono gli squilibri. Ciò può esser fatto in tre modi:
- introducendo una opportuna correzione, nota con il nome suggestivo di arcanum o costante addizionale
- liberando la serie delle larghezze di lastra dall’ossequio al sistema pitagorico, ossia stabilendo punti di dimezzamento dei valori non più in corrispondenza delle ottave;
- abbandonando il vincolo di dimezzamento all’ottava per la serie delle larghezze e adottando progressioni con andamento esponenziale.
In questo articolo analizzerò i primi due metodi, praticati dalla maggior parte degli organari europei sin dal Rinascimento, e descritti nel secolo XVIII da Dom Bedos de Celles.
Nel primo caso si tratta di modificare la pendenza della retta che intercetta le larghezze di lastra. Osserviamo i grafici qui sotto riportati.
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- Anziché congiungere il punto B con l’origine O, si individui sull’asse delle ordinate una quantità (positiva) e si congiunga tale punto con B. Ciascuna larghezza sarà incrementata di una quantità variabile in funzione della lunghezza.
- Si trasla l’intero sistema verticalmente, per mezzo di una costante addizionale applicata a tutti i valori.
- Si varia la pendenza della retta, facendo perno ad esempio in corrispondenza del Do4′, ottenendo così incrementi positivi per le canne gravi della prima ottava e negativi per quelle seguenti, o viceversa.
- Si adottano variabili addizionali diversificate a seconda delle tessiture, creando progressioni discontinue.
Un’altra tecnica consiste nel variare la progressione delle larghezze, in modo che di ottava in ottava i valori stiano in rapporti diversi da 1:2, come 2:3 o 3:5 o 4:7. In questo modo la progressione è illustrata da un diagramma curvilineo, dato da un’equazione non lineare. Se si collegano con segmenti di retta i punti di dimezzamento, approssimando evidentemente il tracciato della curva, il grafico presenta degli scatti, delle variazioni di pendenza.
Un metodo grafico storicamente attestato prevede che si traccino su un segmento orizzontale Cc, corrispondente all’intervallo di ottava, i dodici semitoni secondo la consueta suddivisione pitagorica; sulle perpendicolari passanti per gli estremi di detto segmento si riportano le larghezze di lastra dei Do debitamente proporzionate (quindi il C4′ misura per esempio 3/5 di C8′). Si congiungono poi queste larghezze con segmenti inclinati: C8′ con c4′, c4′ con c2′, c2′ con c1′, c1′ con c1/2′. Per trovare le larghezze di lastra delle rimanenti note basta alzare le perpendicolari dai semitoni e segnarne le intersezioni con i segmenti inclinati.
Le progressioni generate possono adeguarsi meglio al profilo che descrive la risposta dell’orecchio umano. Tuttavia, poiché quest’ultimo ha andamento logaritmico mentre esse sono lineari, la prefetta aderenza non è possibile.
L’uso dell’arcanum permette di enfatizzare gli acuti quando l’addizionale è grande mentre può invertire la situazione se è piccola. Nella tabella seguente è illustrato come, scegliendo opportunamente il valore di base e la costante addizionale, le progressioni dei diametri si sviluppano ciascuna con caratteristiche molto spiccate e differenziate, pur avendo tutte in comune il Do di 4′.
L’uso dell’arcanum permette di enfatizzare gli acuti quando l’addizionale è grande mentre può invertire la situazione se è piccola. Nella tabella seguente è illustrato come, scegliendo opportunamente il valore di base e la costante addizionale, le progressioni dei diametri si sviluppano ciascuna con caratteristiche molto spiccate e differenziate, pur avendo tutte in comune il Do di 4′.
| Valori base | · | · | · | · | · | · | · |
| C1 | 170 | 160 | 150 | 140 | 130 | 110 | 90 |
| C13 | 85 | 80 | 75 | 70 | 65 | 55 | 45 |
| C25 | 42,5 | 40 | 37,5 | 35 | 32,5 | 27,5 | 22,5 |
| C37 | 21,3 | 20 | 18,8 | 17,5 | 16,3 | 13,8 | 11,3 |
| C49 | 10,6 | 10 | 9,8 | 8,8 | 8,1 | 6,9 | 5,6 |
| Progressioni | · | · | · | · | · | · | · |
| Costante addizionale | +0 | +5 | +10 | +15 | +20 | +30 | +40 |
| C1 | 170 | 165 | 160 | 155 | 150 | 140 | 130 |
| C13 | 85 | 85 | 85 | 85 | 85 | 85 | 85 |
| C25 | 42,5 | 45 | 47,5 | 50 | 52,5 | 57,5 | 62,5 |
| C37 | 21,3 | 25 | 28,8 | 32,5 | 36,3 | 43,8 | 51,3 |
| C49 | 10,6 | 15 | 19,4 | 23,8 | 28,1 | 36,9 | 45,6 |
Delle canne labiali: calcolo delle progressioni