Logaritmi o radici?
Come è stato illustrato nei due grafici nella pagina precedente, dopo aver liberata dal vincolo delle lunghezze la progressione delle larghezze di lastra, si può tracciare un grafico indipendente della “scala”, in cui le ascisse non mostrano più la lunghezza, ma semplicemente il numero sequenziale della nota.
Con la comodità dei fogli di calcolo oggi non è più necessario ricorrere alle tavole logaritmiche, potendo semplicemente ottenere il fattore di riduzione mediante l’estrazione della radice ennesima di qualsiasi rapporto di misura.
Ad esempio, per suddividere il rapporto di ottava 1 ÷ 2, che come s’è detto potrebbe essere usato sia per la serie delle lunghezze sia per quella delle larghezze di lastra, si calcola la ragione 12√0,5 e si moltiplica ciascun nuovo semitono per la ragione stessa, oppure si applica la nota formula equivalente 0,5^((n-1)/12), dove n è il numero progressivo della nota (Do 1, Do♯ 2, Re 3, ecc.), come segue:
1 | 0,943874 | 0,890899 | 0,840896 | 0,793701 | 0,749154
0,707107 | 0,66742 | 0,629961 | 0,594604 | 0,561231 | 0,529732 | 0,5
0,707107 | 0,66742 | 0,629961 | 0,594604 | 0,561231 | 0,529732 | 0,5
Quando si conoscono le circonferenze di due canne che suonano un dato intervallo, è possibile trovare le misure delle canne intermedie formulando una proporzione che tenga conto del rapporto fra le misure date e del numero progressivo della nota cercata.
ØX = ØM*(ØM/øm)^((1-nx)/(nm-nM))
dove Øx è il diametro incognito, ØM è il diametro della nota più grave, øm è il diametro della nota più acuta, nx è il numero progressivo della nota cercata, nM è il numero progressivo della nota più grave e nm è il numero progressivo della nota più acuta.
Questi calcoli possono essere applicati anche ai dati relativi alle frequenze o alle lunghezze d’onda, tenendo però presente che forniscono risultati validi solo nel sistema del temperamento equabile, in cui qualsiasi intervallo è sempre diviso in semitoni uguali.
Questi calcoli possono essere applicati anche ai dati relativi alle frequenze o alle lunghezze d’onda, tenendo però presente che forniscono risultati validi solo nel sistema del temperamento equabile, in cui qualsiasi intervallo è sempre diviso in semitoni uguali.
Sino agli anni ’70 del XX secolo il laborioso computo era da farsi a mano, e perciò si ricorreva a due strumenti che risparmiavano fatica e fornivano risultati precisi: le tavole logaritmiche e il regolo.
Töpfer illustra alcune proprietà mediante facili esempi, usando i logaritmi in base 10.
Töpfer illustra alcune proprietà mediante facili esempi, usando i logaritmi in base 10.
- La moltiplicazione di più fattori si semplifica con la somma dei loro logaritmi: 2 × 4 × 6 = 48 equivale a log2 + log4 + log6 = log48. Precisamente 0,3010300 + 0,6020600 + 0,7781513 = 1,6812413
- La divisione si riduce a sottrazione: 48 ÷ 8 = 6 equivale a log48 – log8 = log6, infatti 1,6812412 – 0,9030900 = 0,7781512
- La potenza di un numero si semplifica in un prodotto: 82 = 64 si calcola moltiplicando 2 × log8, cioè 2 × 0,9030900 = 1,8061800 = log64
- L’estrazione di radice è ridotta alla divisione del logaritmo del numero per l’esponente della radice: 2√64 = log64 ÷ 2 = 1,8061800 × 0,5 = 0,9030900 = log8.
George Ashdown Audsley nell’opera intitolata The Art of Organ-Building, vol. 2, New York, 1905 descrive l’operazione grafica per il calcolo delle larghezze di lastra:
- Si stabilisce il rapporto di ottava, ad esempio fra due canne formanti l’intervallo di ottava fatta pari a 1 la larghezza di lastra minore l’altra vale √8: in tal caso la diciassettesima nota della serie avrà larghezza di lastra pari a metà. Si tratta allora di dividere in sedici parti il rapporto 1/2, ossia il fattore di riduzione o “ragione” è 16√0,5 oppure, col metodo dei logaritmi, log(2)/16
- Si traccia sull’asse orizzontale il numero desiderato di ascisse logaritmiche, ottenute dividendo una unità di misura a piacere per il fattore di riduzione. Ora possiamo scegliere 250 mm per disegnare comodamente in un foglio A4 orizzontale. Con l’aiuto delle tavole logaritmiche eseguiamo la sottrazione log(250) – log(2)/16 = 2,379125634 il cui antilogaritmo è 239,4008202 che corrisponde alla seconda nota, poi log(250) – log(2) * 2/16 = 2,360311259 il cui antilogaritmo è 229,2510108 che è la terza nota, e così via. È evidente che per ogni semitono si ripete la sottrazione, e quindi si può tradurre il procedimento nella formula log(X) – log(2) * n/16, dove X è l’unità di misura prescelta e n il numero di semitoni successivi alla prima nota.
- Dopo aver alzato le perpendicolari all’asse delle ascisse in corrispondenza delle note, riportiamo la larghezza della prima lastra sulla prima ordinata e congiungiamo questo punto all’origine con una linea retta: essa interseca la diciassettesima ordinata a un mezzo, la trentatreesima a un quarto, la quarantanovesima a un ottavo e la sessantacinquesima a un sedicesimo del primo valore stabilito. I semitoni intermedi sono ovviamente legati dalla stessa relazione.
Audsley spiega anche come tracciare più semplicemente per mezzo di un curvilinee la linea esponenziale che si ottiene in un grafico in cui le ascisse sono equidistanziate e rappresentano semplicemente il numero progressivo di nota. La precisione di questo mezzo è sufficientemente accurata per l’uso pratico.
Delle canne labiali: calcolo delle progressioni