Gli intervalli
Prima di addentrarmi nel complesso e variegato mondo dei sistemi di temperamento, credo sia utile passare in rassegna gli intervalli incontrati sino ad ora, derivati dalle due diverse suddivisioni dell’ottava: la scala pitagorica e quella naturale, nei due generi diatonico e cromatico.
La scala diatonica prevede sette gradi, e stabilisce fra essi precise relazioni melodiche e armoniche: nei moti fra i gradi si creano delle direzioni privilegiate o prevalenti e prendono forma quelle strutture che la teoria musicale ha classificato come modi e toni.
La scala cromatica è in parte nata dalla necessità di trasporre le melodie diatoniche (soprattutto per adattarne l’ambito all’estensione vocale) e in parte è l’esito dell’ampliamento o trasformazione del sistema modale e tonale per esigenze espressive (introduzione della sensibile, e dei gradi alterati).
Nel corso dei secoli la tastiera di organo e clavicembalo si è normalmente suddivisa in ottave di dodici note, con sette tasti diatonici e cinque cromatici: ciò ha comportato una forzatura nel ciclo delle quinte, perché per chiuderlo una di esse deve essere stretta di un intero comma pitagorico.
Quattro quinte pure in successione generano una terza maggiore pitagorica più larga di un comma sintonico rispetto all’intervallo naturale. Nel calcolo seguente la terza pitagorica è rappresentata perciò come somma di terza maggiore pura + comma sintonico, ossia 386.3 + 21.5 = 407.8 ¢. Proseguendo nel circolo, dopo due terze maggiori pitagoriche, ossia otto quinte pure generate in successione, la terza maggiore che manca alla chiusura deve essere stretta di uno schisma (1.9 ¢). Da questa osservazione scaturisce pure che il comma enarmonico vale due commi sintonici meno lo schisma (21.45 + 21.45 – 1.9 = 41 ¢).
(386.3 + 21.5) + (386.3 + 21.5) + 386.3 - 1.9 = 1200 ¢
L’enarmonia non fu possibile sino all’introduzione dei sistemi di temperamento circolanti. In casi sporadici, tastiere con più tasti cromatici o addirittura con più ordini di tasti erano richieste da specialisti, mossi dall’esigenza di usare tonalità altrimenti non disponibili.
Nel sistema pitagorico cromatico i diesis sono più acuti dei bemolli (C# è sopra Db, E# sopra F, ecc.), mentre nel sistema naturale accade esattamente l’opposto, ossia i diesis sono più gravi dei bemolli.
Nel sistema pitagorico cromatico i semitoni sono di due tipi: diatonico o limma, largo 90 ¢ (256:243) e cromatico o apotome, largo 114 ¢ (2187:2048). Inoltre, come si è già detto, in corrispondenza della quinta stretta, si generano anche due toni larghi 180.45 ¢ e quattro terze maggiori quasi pure.
Anche la scala naturale cromatica, non praticata negli strumenti ad accordatura fissa, possiede intervalli di semitono diversi fra loro: 41 62.5 70.7 111.7 ¢. Infatti nel sistema naturale quando si amplia la scala all’ordine completo dei diesis e dei bemolli applicando il criterio delle migliori consonanze, si ottiene un’ottava composta da 17 note: sette tasti diatonici e dieci cromatici spezzati in cinque diesis e cinque bemolli (si omettono Mi#, Fab, Si#, Dob).
Si formano così due distinte successioni dei semitoni che suddividono ciascun tono:
- tono grande (9:8 o 203.9 ¢):
- 70.7 – 62.5 – 70.7 ¢
per esempio il tono Do-Re è diviso in Do_Do# = 70.7, Do#_Reb = 62.5, Reb_Re 70.7 - tono piccolo (10:9 o 182.4 ¢)
- 70.7 – 41 – 70.7 ¢
per esempio il tono Re-Mi è diviso in Re_Re# = 70.7, Re#_Mib = 41, Mib_Mi = 70.7
Inoltre sono presenti altri intervalli di seconda, che esulano dallo schema descritto. Con Scala si può condurre lo studio teorico su una versione della scala naturale con 12 note o 17 note.
La principale conseguenza di queste ineguaglianze in entrambi i sistemi si avverte nel diverso carattere che assume una linea melodica o una concatenazione accordale a seguito di una trasposizione.
In questa tabella è mostrata la composizione teorica delle due scale cromatiche pitagorica e naturale (le misure in cent sono arrotondate all’unità).
Scala Scala
Nota pitagorica naturale
Rapporto Cent Rapporto Cent
C 1.000 0 1.000 0
C# 1.068 114 1.042 71
Db 1.054 90 1.080 133
D 1.125 204 1.125 204
D# 1.201 318 1.172 275
Eb 1.185 294 1.200 316
E 1.266 408 1.250 386
Fb 1.249 384 1.280 427
E# 1.352 522 1.302 457
F 1.333 498 1.333 498
F# 1.424 612 1.389 569
Gb 1.405 588 1.440 631
G 1.500 702 1.500 702
G# 1.602 816 1.563 773
Ab 1.580 792 1.600 814
A 1.687 906 1.667 884
A# 1.802 1020 1.736 955
Bb 1.778 996 1.800 1018
B 1.898 1110 1.875 1088
Cb 1.873 1086 1.920 1129
B# 2.027 1224 1.953 1159
C 2.000 1200 2.000 1200