Delle canne labiali: calcolo delle progressioni

Georg Andreas Sorge (1703 – 1778) nel trattato Der in der Rechen- und Messkunst wohlerfahrene Orgelbaumeister, Lobenstein 1773 (ristampato in epoca moderna a Magonza da Paul Smets nel 1932) attacca con veemenza la tradizione organaria del passato, rappresentata da Bendeler, Werckmeister e Adlung, accusandoli di aver dato insegnamenti erronei, e si fa fervente sostenitore dell’impiego dei logaritmi al posto delle frazioni nel calcolo delle larghezze di lastra, nonché fautore di moderni sistemi di temperamento circolanti irregolari.
Egli afferma esplicitamente che la larghezza di lastra non va calcolata in funzione della sua lunghezza, e che il rapporto 1 ÷ 2 si deve fissare non già per l’intervallo di ottava, come appunto accade con le lunghezze, ma invece per quello di nona oppure per quelli di decima maggiore o minore. Le proporzioni per le note intermedie sono calcolate ovviamente con il metodo logaritmico illustrato.

J. G. Töpfer seguì Sorge ampliando la portata della rivoluzione: abbandonò il dimezzamento alla nona, e consolidò con metodo scientifico rapporti di misura, che, a dire il vero, erano già nella tradizione, ma non compiutamente articolati entro un quadro omogeneo di calcolo. Il rapporto di 1 ÷ 3 è praticamente uguale al dimezzamento alla decima minore di Sorge, il dimezzamento alla decima maggiore invece coincide con il rapporto che Töpfer fissò come canonico, la NormalMensur, inoltre possono essere calcolate anche altre due serie, come illustrato nella tabella seguente.

Töpfer si impose rapidamente come il padre delle moderne progressioni: infatti riuscì a dare una solida base teorica a tutto l’edificio, fondandolo sui rapporti fra le sezioni trasversali dei corpi, cioè le aree delle anime, anziché sui rapporti fra circonferenze.
Questo cambiamento del punto di vista è da collegarsi anche alle considerazioni fatte da Töpfer sull’equivalenza fra canne cilindriche di metallo e canne prismatiche di legno: nel trattato infatti egli spesso riunisce tre parametri (circonferenza, diametro e lato del quadrato equivalente) quando parla del rapporto di misura d’ottava. Per calcolare il lato del quadrato equivalente alla sezione trasversale di una canna cilindrica, dobbiamo estrarre la radice quadrata dell’area nota. Quindi è possibile mettere in relazione due canne a distanza di ottava, calcolando il rapporto fra le aree anziché quello fra le circonferenze. Se una canna ha circonferenza pari a metà di quella all’ottava inferiore, allora la sua area è pari a un quarto dell’altra. Se la stessa canna avesse invece la sezione trasversale pari a metà di quella all’ottava inferiore, allora la sua circonferenza sarebbe 1/√2 = 0,7071 volte quell’altra, sarebbe cioè sensibilmente maggiore rispetto a quella della progressione iniziale. In questa nuova serie i valori lineari, cioè circonferenza, diametro e lato del quadrato equivalente dimezzano ogni due ottave.

Dopo aver passato in esame le scale fornite da Dom Bédos, Töpfer illustra anche altre scale usate nell’organaria del tempo. Espone quindi in tabella i valori di alcune serie con i seguenti rapporti d’ottava fra le superfici di sezione: 1 ÷ 4, 2÷ 7, 1 ÷ 3, 2 ÷ 5, 4 ÷ 9, 1 ÷ 2. Tutte le serie hanno in comune lo stesso valore di 2 zoll (circa 51 mm) per il Do di 2′. L’esame porta alla conclusione che i valori calcolati con i rapporti 1 ÷ 4 e 1 ÷ 2 non sono praticabili per tutta l’estensione della tastiera, e comunque rappresentano casi estremi di canne o molto strette o molto larghe. Töpfer quindi propone di adottare la media geometrica fra i due rapporti √(2·4) = √8 = 2,828433. Questo valore fu rapidamente accettato come standard, ma fu ufficialmente ratificato dopo più di mezzo secolo nella Conferenza di Freiberg del 1926 come ratio della serie basata sulla canna con diametro di 155,5 mm che produce la nota Do di 8′. Era nata la cosiddetta NormalMensur, 1 ÷ √8, che si traduce nel rapporto di ottava fra diametri o fra larghezze di lastra pari a 1 ÷ ⁴√8 = 1 ÷ 1,6818. Il rapporto fra semitoni è quindi pari a 1 ÷ ⁴⁸√8. I valori per l’intera estensione di un registro dal 32′ sino al 1/16′ sono così fissati:

In questa tabella nella prima colonna a sinistra sono riportate le note corrispondenti ai valori: in realtà si preferisce usare liberamente la progressione, seguendo più comunemente i numeri di scala, che sono riportati nelle colonne indicate. Così ad esempio quando si parla di un registro in scala 45 si intende che la serie è scalata verso l’alto di un semitono, perciò ha taglia più stretta rispetto alla progressione in scala 44, che è quella canonica.
Adottando la NormalMensur come riferimento, è possibile comparare, con una comoda approssimazione, l’andamento di una progressione rispetto allo standard ritenuto “ottimale”. Ciò non vuol dire affatto che solo la NormalMensur meriti considerazione, anzi, poiché essa è efficiente nel seguire il profilo della sensibilità acustica umana, può essere usata come strumento di confronto per comprendere come un organaro ha progettato un registro.